Darf hier das Quotienkriterium angewendet werden?

Question

Hi, ich habe gerade bei einer Aufgabe das Quotientenkriterium angewendet und habe nun das Problem, dass a_n bei mir nur kleiner als eins ist, für einen Laufindex größer als 2, der Laufindex startet jedoch eigentlich schon bei 1. Kann ich hieraus trotzdem schlussfolgern, dass es sich insgesamt um eine konvergierende Reihe handelt? (Die Folge a_n ist eine Nullfolge)

VG:)

Answer 1

bei mir nur kleiner als eins ist

Es reicht nicht, wenn der Quotient betragsmäßig kleiner als 1 ist. Der Quotient muss betragsmäßig kleiner als ein q sein, das selbst kleiner als 1 ist. Das aber auch erst ab einer bestimmten Stelle, so dass

für einen Laufindex größer als 2

kein Hindernis darstellt

Answer 2

Bei fast allen Formeln in fast allen Büchern steht bei Folgen/Reihen immer, irgendetwas muss gelten. Mit schöner Regelmäßigkeit wird dabei falsch dargestellt, dass es nicht grundsätzlich immer, sondern nur "fast immer" gelten muss.

"Fast immer" bedeutet, das es endliche (!) Male nicht funktionieren braucht. Der Grundgedanke dabei ist, dass Du auf Deinem Weg vom Anfang bis in die Unendlichkeit an vielen Problemen vorbeilaufen kannst, aber irgendwann (und sei es noch so spät) hast Du die alle hinter Dir, und ab diesem Index hast Du keine Probleme mehr und der Weg bis in die Unendlichkeit ist trotzdem noch unendlich lang.

(Bei Quotienten steht z.B. oft dabei, dass kein Element 0 sein darf, aber das muss gar nicht sein. Irgendwann hast Du alle Brüche mit Nulldivision hinter Dir, und ab da klappt es dann.)