Welchen Wert muss c besitzen, damit f mit f(x)=(x+1)*(x^2+4x+c) genau eine Nullstelle besitzt?

Question

Wie berechne ich das?

Begründe welchen Wert c besitzen muss, damit die zugehörige Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=(x+1)*(x^2+4x+c) genau eine Nullstelle besitzt.

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht wie man das rechnet. X1=-1 und x^2+4x+c in die pq Formel einsetzen oder?

Bitte mit Rechenweg und Erklärung, Danke

Answer 1

Du hast bereits eine Nullstelle. Also sorge dafür, dass die andere Klammer (zweimal) die selbe hat (dann hast Du aber eigentlich nicht 1 Nullstelle, sondern 3mal die gleiche) oder sorge dafür, dass die andere Klammer gar keine Nullstelle hat.

Answer 2

f ( x ) = ( x + 1) * ( x^2 + 4x + c )
Unter Anwendung des Satzes vom Nullprodukt
könnte es 2 Nullstellen geben
x + 1 = 0
x = -1
und
x^2 + 4x + c = 0
bzw. keine Nullstelle
x^2 + 4x + c ≠ 0
Quadratische Ergänzung
x^2 + 4x + 2^2 ≠ -c + 4
( x + 2)^2 ≠ 4 - c
x + 2 ≠ √ (4 - c)
x ≠ √ (4 - c) -1
Falls 4 - c < 0 ( negativ ) gibt es keine Lösung
4 < c
c > 4
Probe mit c = 5
x^2 + 4x + c = 0
x^2 + 4x + 5 = 0
( x + 2 )^2 = -5 + 4
( x + 2 )^2 = -1
keine Lösung
Und hier noch eine Grafik für
f ( x ) = ( x + 1) * ( x^2 + 4x + 5 )

Die Funktion hat nur eine Nullstelle

Comments

f ( x ) = ( x + 1) * ( x² + 4x + c )
Unter Anwendung des Satzes vom Nullprodukt
könnte es 2 Nullstellen geben

Es könnte 3 Nullstellen geben.

Answer 3

Ja. setze die Diskriminante Null:

4-c = 0

c =4

Comments

Eine Nullstelle hat man bereits. x1 = -1

Die Klammer darf nie 0 werden (ausser allenfalls bei x = -1). Da kann wie erwähnt die Diskriminante helfen.

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Ja. setze die Diskriminante Null:

Dann hat die Funktion aber ZWEI Nullstellen.

Die von mlgast1234 aufgezeigten grundsätzlichen Alternativen besagen ja nicht, dass beide Alternativen im konkreten Fall anwendbar sind.

Ich habe sie eher als Aufforderung zum Mitdenken verstanden.

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@abakus: Ich auch.

Answer 4

Wenn du die zweite Klammer als Funktion g(x)=x^2+4x+c betrachtest erhältst du eine nach oben geöffnete Parabel. Für c=4 hat g(x) eine Nullstelle bei x=-2. Für c>4 verläuft die Parabel oberhalb der x-Achse.

Da f(x) eine Nullstelle bei x=-1 besitzt, darf c nicht gleich 4 sein, sondern es muss gelten: c>4.

Hier einmal für c=4.1 dargestellt: grün f(x), rot g(x)

https://www.desmos.com/calculator/ea4loa0ruq