Schräg zum Hang fahren

Question

Aufgabe:

Ein Fahrradfahrer möchte einen steileren Hang (17°) hinauffahren. Da er es auf direktem Weg nach oben nicht schafft, fährt er schräg zum Hang nach oben, ähnlich einer Serpentine. Der Winkel der Schrägfahrt beträgt 23° im Vergleich zum direkten Weg nach oben (0°).

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre über Vektorrechnung:

1) Man müsste erst den Normalenvektor zur Steigung berechnen mit Hilfe des Kreuszproduktes.

2) Dann den Steigungsvektor in der Achse des Normalenvektor um den 23° (Winkel der Schrägfahrt) drehen.

3) Dann den Winkel zwischen diesem Vektor und diesem Vektor mit einem z-Wert von 0 berechnen (z-Achse zeigt nach oben). Dies ergibt dann die Steigung, die man bei der Schrägfahrt nach oben fährt.

Ist das der richtige Ansatz? Gibt es einen einfacheren Rechenweg?

Comments

Werden die 23° am Hangboden gemessen? Also nicht parallel zur Horizontalen? Sollte man dich in den vorhandenen Antworten missverstanden haben, kannst du vielleicht anhand einer "ähnlichen Frage" mit Bildchen besser erklären wie die 23° gemessen werden? Bsp. https://www.mathelounge.de/532746/trigonometrie-vermessungsaufgaben-horizontalen-geneigt

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Und was ist die Frage?

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Ja 23° am Hangboden. Der Radfahrer probiert erst gerade hoch zu fahren, schafft es nicht um biegt dann 23° ab.

Die Kernfrage ist, wie man es am einfachsten rechnet?

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wächter hat das dann vermutlich richtig verstanden. Studiere mal die Antwort und kommentiere bei Fragen dort nochmals. Das ist dann halt ganz schön steil.

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Wie man WAS "am einfachsten rechnet"?

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Am einfachsten ist die elementare Betrachtung rechtwinkliger Dreiecke mit dem Ergebnis, dass für den gesuchten Winkel γ gilt :  sin (γ)  =  sin (17°) * cos (23°) .

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Ja stimmt schon, die 23° sind zu wenig, besser sind vieleicht 60°. Hab schon bei Wächter geschrieben, weil ich die Berechnung des Winkels nicht verstanden hab. Normalerweise würde ich so ansetzen

$$cos(θ) = \vec{u} * \vec{v} / |\vec{u}| * |\vec{v}|$$

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sin (17°) * cos (23°) ergibt 15,4547580579 und arcsin davon 15,6485825087

wächter hat 15,61247795988 errechnet. Wieso liefert das nicht das gleiche Ergebnis?

Answer 1

Hm,

der direkte Aufstieg α=17° wäre dem Vektor u zuzuordnen.

u=(1,0,tan(α))=(1, 0, 0.3057306814587)

sind also 30.6% Steigung - das kann man als Schiebeberg durchgehen lassen, OK...

Jetzt fährt er also

u'=(cos(α), tan(23°), sin(α)) = (0.9563047559636, 0.4244748162097, 0.2923717047228)

∠u,u'=23°

ist das so gedacht?

dann wäre die Steigung

0.2923717047228/sqrt(0.9563047559636^2+ 0.4244748162097^2)=0.2794397897851

ca. 28% auch knackig...

war das die Frage?

Edit: das sind tan⁻^1(0.2794397897851) 180 / π= 15.61247795988°

Comments

Jetzt fährt er also

u'=(cos(α), tan(23°), sin(α)) = (0.9563047559636, 0.4244748162097, 0.2923717047228)

∠u,u'=23°

ist das so gedacht?

Ja genau, genial. Dachte ich doch dass es einfacher geht.

dann wäre die Steigung

0.2923717047228/sqrt(0.95630475596362+ 0.42447481620972)=0.2794397897851
ca. 28%

Diesen Rechenschritt habe ich nicht kapiert. Könntest du das erklären? Und warum rechnest du mit Prozent und nicht mit Grad?

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0.2923717047228/sqrt(0.95630475596362^2+ 0.42447481620972^2)

muss es natürlich heißen. Habe es mit der Winkelformel gerechnet und dann in Prozent umgerechnet, das Ergebnis stimmt. Wie hast du diese Vereinfachung hinbekommen?

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Du musst das Steigungsdreieck betrachten - einfach aufmalen. Die Strecke über Grund l und der Höhengewinn h (katheden) und die Hypotenuse der zurückgelegten Wegstrecke s. l ist auch die Hypotenuse mit den x,y koordinaten des vektors als katheden.

die steigung m=h/l (%) und tan(a)=m

Als radfahrer kann ich steigungs% besser einschätzen und bei diesen daten leichter berechnen - deshalb hab ich für mich auch eine 60 Grd Abweichung berechnet :-)

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Also $$sin(a) / \sqrt{cos(a)^2 + tan(b)^2}$$ liefert die Steigung in Prozent. Wenn ich es in Grad rechne mit

cos(θ)=u⃗ ∗v⃗ /|u⃗ |∗|v⃗

ist die Formel viel komplizierter und lässt sich nicht vereinfachen. Das würde ich gerne verstehen?

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Ah jetzt hab ichs

$$\sqrt{cos(a)^2 + tan(b)^2}$$

ist die Hypotenuse vom neuen Steigungsdreieck also die Strecke. Und die Höhe ist sin(a). Das Verhältnis daraus ist die Steigung in Prozent. Genial, das ist natürlich viel, viel, viel einfacher als der Rechenweg, den ich mir am Anfang überlegt habe. Vielen Dank!!

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yep, genau so

die steigung m =h/l= tan(a) ===> a=tan^-1(m)

Der Trick ist den neuen vektor möglichst einfach zusammen zu bauen...

Ich habs auch noch aufgemalt: α=17°, ε=60°

Text erkannt:

\( h=\sin (a) / \sqrt{\left(\cos (a)^{2}+\tan (\epsilon)^{2}\right)}=0.14777 \) bei \( \tan ^{-1}(h) 180 / \pi=8.40596° \)

Nachtrag:

Auf die Aussage von hj2166 sin(β)=cos(ε) sin(α)  bin ich auch gekommen und die liefert auch das gleiche Ergebnis...

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Nachtrag:

Auf die Aussage von hj2166 sin(β)=cos(ε) sin(α)  bin ich auch gekommen und die liefert auch das gleiche Ergebnis...

Auch wenn ich ε und α vertausche, komm ich da nicht auf das Ergebnis.

α = 17°

ε = 60°

sin(β) = cos(60°) * sin(17°) = 0.8232816666

β = arcsin(0.8232816666) = 0.9671683299

β = 0.9671683299 * 180 / pi = 55.41°

Was mach ich falsch?

Text erkannt:

55.4146633821

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womit rechnest Du da? “Grad

cos(60”)sin(17”)=0.5* 0.29273=0.14619

arcsin(0.14619)=0.14671[180/pi]=8.40596”

irgendwas mit der GradxRad Umschaltung nicht i.O.?

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Ah ok, der Fehler war, dass ich sin(cos(ε)*sin(α)) ausgerechnet und dann mit arcsin weitergerechnet habe. Das ist natürlich eine noch einfachere Formel. kA wie man darauf kommt, aber gut :)

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Steigungsdreieck                  Ebenendreieck
$$\triangle  OA:\operatorname{tan} \left( \alpha \right) = \left|u\right| \; \operatorname{sin} \left( \alpha \right) \wedge \triangle  OAP: \left|u\right| = \left|P\right| \; \operatorname{cos} \left( \epsilon \right) $$

===> $$\operatorname{tan} \left( \alpha \right) = \left|P\right| \; \operatorname{cos} \left( \epsilon \right) \; \operatorname{sin} \left( \alpha \right)$$
Steigungsdreieck [P_z=A_z=u_z=\(tan(\alpha)\)]
\(\triangle  OP: \left|P\right| = \frac{\operatorname{tan} \left( \alpha \right)}{\operatorname{sin} \left( \beta \right)} \)

===> $$\operatorname{tan} \left( \alpha \right) = \frac{\operatorname{tan} \left( \alpha \right)}{\operatorname{sin} \left( \beta \right)} \; \operatorname{cos} \left( \epsilon \right) \; \operatorname{sin} \left( \alpha \right)$$

===>  \(\operatorname{sin} \left( \beta \right) = \operatorname{cos} \left( \epsilon \right) \; \operatorname{sin} \left( \alpha \right)\)

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Wow, da muss ich mich erstmal reinarbeiten, um das zu checke, Danke auf jeden Fall :)