Konvergenz einer Reihe mit Leibniz überprüfen?

Question

Hi Leute

hab zurzeit viele Fragen bezüglich Folgen und Reihen weil ich auch bald die Analysis Klausur schreibe

die Aufgabe lautet. Überprüfe auf konvergenz

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n*( (1/n) +7*(-2)^(-n))} \)

nach (-2) ist die -n hochgestellt macht hier im System nicht mit.

Version von mws: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot( \frac{1}{n} +7\cdot(-2)^{(-n)})}\)

Dass ich hier Leibniz anwenden muss weiss ich , ich habe ersteinmal auf absoluter Konvergenz überprüft und herausgefunden, dass es  konvergiert da es eine Nullfolge ist.

Ist das denn richtig ?

Comments

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot( \frac{1}{n} +7\cdot(-2)^{(-n)})}\)

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ich habe ersteinmal auf absoluter Konvergenz überprüft und herausgefunden, dass es  konvergiert da es eine Nullfolge ist.

In diesem Satz zeigt sich, dass du etwas falsch verstanden hast.

Absolute Konvergenz ist stärker als Konvergenz.

Zudem:

"Summanden bilden eine Nullfolge" ist nur eine Voraussetzung und keine hinreichende Bedingung für Konvergenz einer Reihe.

Was hast du genau getan? Dann kann man vielleicht sagen, ob das als Anfang stimmt.

Answer 1

Laut wolframalpha konvergiert die Reihe gegen 7-log 2.

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot( \frac{1}{n} )}=-\log 2\)

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot(7\cdot(-2)^{(-n)})}=7\)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csum%5Climits_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7B%28-1%29%5En%5Ccdot%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D+%2B7%5Ccdot%28-2%29%5E%7B%28-n%29%7D%29%7D

Answer 2

Zerlege das Ding doch einfach in zwei Reihen

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot( \frac{1}{n} +7\cdot(-2)^{(-n)})}$$

$$=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot (\frac{1}{n})} +\sum\limits_{n=1}^{\infty}{7\cdot(-1)^n\cdot(-2)^{(-n)}} $$

$$=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot (\frac{1}{n})} +\sum\limits_{n=1}^{\infty}{7\cdot(\frac{-1}{-2})^{n}} $$

$$=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot (\frac{1}{n})} +7\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{2})^{n}} $$

Das erste ist die alternierende harmonische Reihe, die nach Leibniz konvergent ist. Die zweite ist die geometrische Reihe, die auch konvergent. Dann müsste der wert 7-log2 rauskommen.