Reihen auf Konvergenz oder Divergenz untersuchen (Leibniz-/Wurzelkriterium)

Question

Aufgabe:

1.$$\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2}{4k-2}$$

2.$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{2}{k})^{k}$$

Problem/Ansatz:

Das erste muss ich mit dem Leibnizkriterium lösen aber ich verstehe nicht wie ich da vorgehen soll

Beim zweiten hab ich das Wurzelkriterium benutzt allerdings bin ich bisher auf keine Lösung gekommen.

Comments

Bei (2) sind alle Summanden größer als 1. Deshalb divergiert die Reihe.

Answer 1

Kürze den Bruch in der ersten Aufgabe und erhalte

 a_k = 1 / (2k-1) .

Zeige dann, dass a_k-a_k+1 = ..= 2 / ((2k-1))(2k+1))

immer positiv ist, die Folge der a_k also streng monoton fällt

und eine Nullfolge ist.

Also Leibniz anwendbar ==> Die Reihe konvergiert.

Im 2. Fall ist die k-te Wurzel aus dem k-ten Summanden

ja immer  1 +2/k  > 1 .

Also die Reihe divergent.

Comments

Ich habe den Bruch nicht gekürzt komme aber dann durch eine Ungleichung auf das Ergebnis 8≥0 habe ich damit die monotonie bewiesen ? Ebenfalls würde ich sagen das  \( \lim\limits_{k\to\infty} \)\( \frac{2}{4k-2} \) keine Nullfolge ist da \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}} \) divergent ist. Oder sehe ich hier etwas nicht? Eine Frage hätte ich noch und zwar warum ist die im 2.Fall divergent ( >1) da 2/k divergent ist und somit würde für mich dort =1 rauskommen d.h ich kann das Wurzelkriterium nicht anwenden. Oder weil k ab 1 anfängt muss es >1 sein somit divergent seh ich das richtig? und wenn diese Reihe bei 0 beginnen würde könnte ich hier das Wurzelkriterium nicht anwenden richtig?

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Ich habe den Bruch nicht gekürzt komme aber dann durch eine Ungleichung auf das Ergebnis 8≥0 habe ich damit die monotonie bewiesen ?

Wenn du z.B.  mit der Ungleichung a_k  ≥ a_k+1  angefangen hast,  ja.

Ebenfalls würde ich sagen das  \( \lim\limits_{k\to\infty} \)\( \frac{2}{4k-2} \) keine Nullfolge ist da \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}} \) divergent ist. Oder sehe ich hier etwas nicht?    Ja, da hast du Folgen und Reihen verwechselt.

Die Folge der \( \frac{1}{k} \) konvergiert gegen 0, nur die Reihe,

also die aufsummierten Folgenglieder nicht.

 Bei dem 2. Fall hast du recht, da habe ich nicht aufgepasst. Wurzelkriterium geht da wohl nicht.

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Danke dir also ja ich habe a_k ≥ a_k+1 benutzt gut ok ist es dann monoton fallend oder steigend wenn 8≥0 rauskommt? Noch eine Frage, \( \lim\limits_{k\to\infty} \) _{\( \frac{2}{4k-2} \)} seh ich das richtig dass, dies nun eine Nullfolge ist und somit kann man das Leibnitzkriterium auch verwenden? -> konvergent, weil Nullfolge und monotonie wurde erfüllt?

_{Im 2.Fall habe ich leider keine ansätze welches Kriterium man verwänden sollte(vlt. Majoranten?).}

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Danke für deine Hilfe ich habe den 2.Fall nun gelöst. Vielen Dank.