Hallo NumeroUno,
"mit dem Quotientkriterium ist es ja auch einfacher.."
Ich denke mal, da hat wohl jeder seine eigenen Ansichten.
1)
\( \left(\frac{2^n}{n+1} \right) \) ist eine unbeschränkte, monoton wachsende Folge. Demnach ist \( \left(\frac{n+1}{2^n} \right) \) eine monoton fallende Nullfolge. Mit dem Leibnizkriterium konvergiert die Reihe.
2)
Fast immer gilt \( \frac{n+1}{2^n} < 1 \), daher gilt erst recht fast immer \( \sqrt[n]{\left |(-1)^n \frac{n+1}{2^n} \right |} < 1 \)
Mit dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe.
3)
\( \left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right | = \left |\frac{(-1)^{n+1}\frac{n+2}{2^{n+1} }}{(-1)^n \frac{n+1}{2^n}} \right | = \left |(-1) \frac{2^n(n+2)}{2^{n+1}(n+1)} \right | = \frac{1}{2}\frac{n+2}{n+1}= \frac{\frac{n}{2}+1}{n+1} < 1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} .\) Mit dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe.
Ich finde die ersten beiden Varianten bequemer bzw. einfacher.
"wie kann man sowas erkennen?"
Indem man sich mit dem Thema beschäftigt, sich Wissen aneignet und eine gewisse Anzahl Erfahrungen gesammelt hat.
Beste Grüße
gorgar
