Konvergenz von Reihen mit Leibniz ∑ (-1)^{k+1} / √k

Question

Konvergenz mit Hilfe des Leibnizkriteriums:

$$ \sum \limits _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { \sqrt { k } } $$

Komme nicht weiter. Habe einen Bruch gebildet, doch dann ist vorbei.

Answer 1

Wir haben hier doch eine Alternierende Nullfolge weil der Nenner gegen Unendlich geht. Damit konvergiert die Reihe nach dem Keks-Kriterium.

Comments

Ja aber ich muss es ja auch beweisen. Also mit |an+1| < |an| oder?

---

|an+1| < |an| langt nicht. Wenn du etwas beweisen willst dann das 1/√k für k gegen unendlich eine Nullfolge ist, also gegen 0 geht.

Müsst hier das Beweisen? Ich denke ja das kann man als bekannt voraussetzen.

---

Ne Beweise brauchen wir nicht. Was ich meinte ist, dass ich ja was hinschreiben muss. Und da ist mir zum Leibnitz Kriterium |an+1| < |an| eingefallen.

Habe auch angefangen aber wenn ich beide auf einen Nenner habe, weiß ich nicht mehr weiter.

Kann ich bei |an+1| -|an|  dann sofort Partialbruchzerlegung machen?

Das wäre das einzige was mir noch einfallen würde.

Danke

---

Ok. Du wolltest noch die Monotonie zeigen. Wenn du die nicht sehen kannst, dann:

1/√(k+1) < 1/√(k)

Beide Seiten sind positiv damit darf ich einfach quadrieren

1/(k+1) < 1/k

Mit dem Hauptnenner multiplizieren

k < k + 1

Damit ist die Monotonie gezeigt.

---

wie kann ich das mit der nullfolge zeigen?.

---

Was passiert wenn du bei (-1)^{k+1}/√(k+1) einen sehr großen Wert für k einsetzt?

Unterscheide evtel. wenn k gerade und wenn k ungerade ist.

---

achso das heißt ich zeige das es für ungerade zahlen und für gerade zahlen gegen null geht... ok alles klar vielen dank

---

vielen dank für deine antwort, das mit der monotonie verstehe ich so zwar super aber wir sollen es als länge reihe aufschreiben statt als viele einzelne gleichungen wie gehe ich da vor ? ich habe gestartet mit an+1-an aber dann wird das umformen schwer weil es eben keine gleichung ist...

---

| an+1 | < | an |

| - 1^{n + 1 + 1}/√(n + 1) | < | - 1^{n + 1}/√(n) |

1/√(n + 1) < 1/√n

√(n + 1) > √n

n + 1 > n

stimmt.