Leibniz Kriterium Divergenz

Question

Aufgabe:

Aufgabe A.6.4 (Leibniz-Kriterium)
Konstruieren Sie eine positive Nullfolge \( \left(a_{n}\right) \subset \mathbb{R}_{>0} \) so, dass die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} a_{k} \) divergiert. Warum widerspricht dies nicht dem Leibniz-Kriterium?

Problem/Ansatz:

Hallo ich habe diese Aufgabe allerdings komme ich damit gar nicht klar. Ein Ansatz oder Tipp wie ich diese Aufgabe lösen könnte wäre nett.

Comments

1. Lies dir das Leibniz-Kriterium durch, vergleiche seine Voraussetzungen mit den in der Aufgabe genannten.

2. Identifiziere diejenige Voraussetzung, die Konvergenz garantiret, aber die in der Aufgabe fehlt : diese Voraussetzung muss deine Konstruktion verletzen

3. Mache dich an die Konstruktion. Tipp : die Folge "springt" zwischen zweien hin und her davon die eine konvergiert, die andere divergiert.

4. Weise die Richtigkeit deiner Lösung nach.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Betrachte die Summe:$$\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k}\cdot\frac{\sqrt k+(-1)^k}{k}\quad\implies\quad a_k=\frac{\sqrt k+(-1)^k}{k}$$

Die Folge \((a_k)\) ist eine Nullfolge:$$a_k=\frac{\sqrt k}{k}+\frac{(-1)^k}{k}=\frac{1}{\sqrt k}+\frac{(-1)^k}{k}\to0+0=0$$

Trotzdem divergiert die Summe:$$\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k}\cdot\frac{\sqrt k+(-1)^k}{k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{(-1)^k}{\sqrt k}+\frac1k\right)$$Die erste Summe konvergiert nach dem Leibnitz-Kriterium, aber die harmonische Reihe ist divergent.

Das Leibnitz-Kriterium setzt voraus, dass die \((a_k)\) nicht nur eine Nullfolge bilden, sondern eine monoton fallende Nullfolge. Die hier angegebene Folge \((a_k)\) ist nicht monoton fallend. Daher ist das Leibnitz-Kriterium nicht anwendbar.