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Aufgabe:

Ker(λA)=Ker(A) für A aus Hom (V,V) und für ein λ aus dem Körper


Problem/Ansatz:

… Könnte mir bitte jemand sagen, wie ich das beweisen kann? Ich mach mir die ganze Zeit darüber gedanken aber verstehe nichtmal wieso das Lamda einfach verschwindet.

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2 Antworten

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Beste Antwort

Sei A aus Hom(V,V) und λ∈K.

Um Ker(λA)=Ker(A) zu beweisen gehe wie immer bei Mengengleichheit vor:

1. Sei x∈Ker(λA). ==> (λA)*x =  0   ==> λ*(A*x) = 0

Wenn man nun wüsste, dass λ≠0 gilt, würde hieraus folgen

A*x= 0      also x  ∈ Ker(A) .

Wenn λ≠0 nicht vorausgesetzt war, ist es nicht zu beweisen.

Avatar von 289 k 🚀

Danke für die Antwort! Eine Frage hätte ich noch würde das auch gelten, wenn es Hom(V,W) bspw wäre? Und ich hab leider vergessen zu erwähnen dass λ ungleich 0 ist

Du musst natürlich auch noch die andere Richtung beweisen:

Sei x∈Ker(A) ==>.... ==>  x∈Ker(λA).

wenn es Hom(V,W) bspw wäre?

Da sehe ich kein Problem .

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Hallo

schreib den H. doch als Matrix, x in Kern Ax=0 was ist dann A*rx?

oder Kern ist immer UVR von V wenn also x im Kern, dann auch λx

lul

Avatar von 108 k 🚀

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