Hilfe bei Homorphismus-Aufgabe

Question

Aufgabe:

Ker(λA)=Ker(A) für A aus Hom (V,V) und für ein λ aus dem Körper

Problem/Ansatz:

… Könnte mir bitte jemand sagen, wie ich das beweisen kann? Ich mach mir die ganze Zeit darüber gedanken aber verstehe nichtmal wieso das Lamda einfach verschwindet.

Answer 1

Sei A aus Hom(V,V) und λ∈K.

Um Ker(λA)=Ker(A) zu beweisen gehe wie immer bei Mengengleichheit vor:

1. Sei x∈Ker(λA). ==> (λA)*x =  0   ==> λ*(A*x) = 0

Wenn man nun wüsste, dass λ≠0 gilt, würde hieraus folgen

A*x= 0      also x  ∈ Ker(A) .

Wenn λ≠0 nicht vorausgesetzt war, ist es nicht zu beweisen.

Comments

Danke für die Antwort! Eine Frage hätte ich noch würde das auch gelten, wenn es Hom(V,W) bspw wäre? Und ich hab leider vergessen zu erwähnen dass λ ungleich 0 ist

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Du musst natürlich auch noch die andere Richtung beweisen:

Sei x∈Ker(A) ==>.... ==>  x∈Ker(λA).

wenn es Hom(V,W) bspw wäre?

Da sehe ich kein Problem .

Answer 2

Hallo

schreib den H. doch als Matrix, x in Kern Ax=0 was ist dann A*rx?

oder Kern ist immer UVR von V wenn also x im Kern, dann auch λx

lul