lineare Abbildung bestimmen in Q2 -> Q3

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung h : Q² → Q³ ist durch h(2, 1) = (0, 0, 0) und h(−1, −1) = (−1, −3, −5) gegeben. Bestimmen Sie h(x, y) fur alle x, y ∈ Q.

Problem/Ansatz:

Ich weiss natuerlich das die lineare Abbikdung ∀ x, y ∈ V ∀ α, β ∈ K : h(α ·x+ β ·y) = α ·h(x)+ β ·h(y) so definiert ist. Kann ich die zwei gegebenen Punkte jetzt nehmen mithilfe dieser Definition einsetzeen und ein Gleichungssystem bilden? Also ich waehle ein α = β = 1 und setze in den hinteren Teil ein und loese dann den vorderen Teil der Definition.

Answer 1

Kann ich die zwei gegebenen Punkte jetzt nehmen mithilfe dieser Definition einsetzeen und ein Gleichungssystem bilden?

Na klar:  Versuche (x,y) durch eine Linearkombination von (2;1) und (1;-1)

auszudrücken (x,y) = a (2;1) + b(1;-1)

==>   x = 2a+b   und  y= a-b

==>  a=(x+y)/3  und b=(x-2y)/3

Und dann ist h(x,y) = h(  ((x+y)/3) · (2;1) + ((x-2y)/3 )·(1;-1) )

                          = ((x+y)/3) · h(2;1) + ((x-2y)/3 )·h(1;-1)

                        = ((x+y)/3) · (0;0;0)+ ((x-2y)/3 )·(−1, −3, −5)

und das noch ausrechnen.

Comments

Ja danke genau so habe ich gemeint.

Answer 2

Aloha :)

Berechne doch einfach die Abbildungsmatrix \(H\) aus den Angaben:$$H\cdot\binom{2}{1}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad H\cdot\binom{-1}{-1}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\-5\end{pmatrix}$$indem du sie zu einer Matrix-Gleichung zusammenführst:$$H\cdot\left(\begin{array}{rr}2 & -1\\1 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\0 & -3\\0 & -5\end{array}\right)$$und diese dann nach \(H\) unformst:$$H=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\0 & -3\\0 & -5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}2 & -1\\1 & -1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\0 & -3\\0 & -5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\1 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-1 & 2\\-3 & 6\\-5 & 10\end{array}\right)$$Die Abbildungsvorschrift lautet daher:$$h(x;y)=\begin{pmatrix}-x+2y\\-3x+6y\\-5x+10y\end{pmatrix}$$