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Betrachte die Summe:k=1∑∞(−1)k⋅kk+(−1)k⟹ak=kk+(−1)k
Die Folge (ak) ist eine Nullfolge:ak=kk+k(−1)k=k1+k(−1)k→0+0=0
Trotzdem divergiert die Summe:k=1∑∞(−1)k⋅kk+(−1)k=k=1∑∞(k(−1)k+k1)Die erste Summe konvergiert nach dem Leibnitz-Kriterium, aber die harmonische Reihe ist divergent.
Das Leibnitz-Kriterium setzt voraus, dass die (ak) nicht nur eine Nullfolge bilden, sondern eine monoton fallende Nullfolge. Die hier angegebene Folge (ak) ist nicht monoton fallend. Daher ist das Leibnitz-Kriterium nicht anwendbar.