Aufgabe:
Definiere die 1-Form \( \omega \) auf \( \mathbb{R}^3_+ := \{x,y,z \in \mathbb{R}^3: z > 0 \}\) durch $$\omega(x,y,z):= \frac{y}{z} dx+ \frac{x-z}{z} dy - \frac{xy}{z^2} dz$$
a) Untersuche, ob \( \omega\) geschlossen ist.
b) Bestimme, falls existent, eine Stammfunktion \( \omega\) auf \(\mathbb{R}^3_+ \).
c) Bestimme für \( \int_{c} \omega\) für \(c:[0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^3\) mit \(c(t):= (0,t,2\pi)\)
Problem/Ansatz:
Ich habe Probleme die Defintion von geschlossene 1-Formen zu verstehen. Mir ist nicht klar wie ich die 1-Form ableiten muss, um die Eigenschaft zu untersuchen. Oder muss man da ganz anders vorgehen? Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
