Stammfunktion von 1-Formen bestimmen

Question

Aufgabe:

Definiere die 1-Form \( \omega \) auf \( \mathbb{R}^3_+ := \{x,y,z \in \mathbb{R}^3: z > 0 \}\) durch $$\omega(x,y,z):= \frac{y}{z} dx+ \frac{x-z}{z} dy - \frac{xy}{z^2} dz$$

a) Untersuche, ob \( \omega\) geschlossen ist.

b) Bestimme, falls existent, eine Stammfunktion \( \omega\) auf \(\mathbb{R}^3_+ \).

c) Bestimme für \( \int_{c} \omega\) für \(c:[0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^3\) mit \(c(t):= (0,t,2\pi)\)

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme die Defintion von geschlossene 1-Formen zu verstehen. Mir ist nicht klar wie ich die 1-Form ableiten muss, um die Eigenschaft zu untersuchen. Oder muss man da ganz anders vorgehen? Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Comments

Eine Differentialform \( \omega \) heißt geschlossen, wenn \( \textrm d\omega = 0 \) gilt. Wie man die äußere Ableitung berechnet, solltest du z.B. in deinen Unterlagen finden können. Oder auf Wikipedia:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialform#Koordinatendarstellung

Beachte insbesondere das Beispiel, in dem die Formel für 1-Formen schon aufgedröselt wurde:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialform#Beispiel

Man muss im Prinzip nur noch einsetzen:

$$ \textrm d\omega = \left( \partial_x\left(\frac{x-z}{z}\right) - \partial_y\left(\frac{y}{z}\right) \right) \textrm dx\wedge \textrm dy + \dotsm = 0 \textrm dx\wedge \textrm dy + \dotsm $$

Die anderen beiden Koeffizienten kannst du bestimmt selbst bestimmen.