Ableitung von x^(xx) berechnen

Question

kann mit bitte jemand dabei helfen die Ableitung von x^(x^x) zu bestimmen?

Ich habe keine rechte Idee, wie ich da anfangen soll.

Answer 1

Aloha :)
Betrachte zunächst die Ableitung von $x^x$:

$$\left(x^x\right)'=\left(e^{x\ln x}\right)'=e^{x\ln x}\left(1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}\right)=x^x\left(\ln x+1\right)$$Damit erhalten wir weiter:

$$\left(x^{x^x}\right)'=\left(x^{\left(x^x\right)}\right)'=\left(e^{x^x\ln x}\right)'=e^{x^x\ln x}\left(x^x(\ln x+1)\cdot\ln x+x^x\cdot\frac{1}{x}\right)$$$$\phantom{\left(x^{x^x}\right)'}=x^{x^x}\cdot x^x\left(\ln^2x+\ln x+\frac{1}{x}\right)=x^{x^x+x}\left(\ln^2x+\ln x+\frac{1}{x}\right)$$

Comments

Danke schön, hab's verstanden.