Spezielle Lage der Grundfläche ABC im koordinatensystem (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Pyramide mit Grundfläche ABC und Spitze S. In einem Kartesischen Koordinatensystem haben deren Eckpunkte die Koordinaten A(5|1|3), B(9|4|3), C(8|-3|3) und S(1|5|-1).

Geben sie die spezielle Lage der Grundfläche ABC im koordinatensystem sowie die Höhe der Pyramide an.

Problem/Ansatz:

1. Was ist mit "spezielle Lage" gemeint?

2. Soll ich um die Höhe der Pyramide auszurechnen den Mittelpunkt der Grundfläche ABC (ein Dreieck) ausrechnen oder ähnliches um zur Spitze zu kommen?

Answer 1

Dreieck ABC hat an allen Ecke die gleiche x₃-Koordinate, es liegt also parallel zu x₁x₂-Ebene im Abstand 3.

S(1|5|-1) hat die x₃-Koordinate -1. Die Pyramide steht auf der Spitze und hat die Höhe 3-(-1)=4 .

Comments

Ich trage mal eine Skizze bei

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=dreieck(5%7C1%7C3%209%7C4%7C3%208%7C-3%7C3)%0Adreieck(5%7C1%7C3%209%7C4%7C3%201%7C5%7C-1)%0Adreieck(5%7C1%7C3%201%7C5%7C-1%208%7C-3%7C3)%0Adreieck(1%7C5%7C-1%209%7C4%7C3%208%7C-3%7C3)

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Wie würde man dann die Höhe ausrechnen wenn die Grundfläche nicht bei jedem Eckpunkt den gleichen x3 Wert hat?

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Dann kannst du drei Punkte nehmen und daraus eine Ebene machen. Dann berechnest du den Abstand des Vierten Punktes von dieser Ebene.

Du kannst die Beträge von Spatprodukt und Grundfläche teilen um den Abstand zu erhalten:

d = |(AB x AC) * AS| / |AB x AC|

Answer 2

Wenn man sich die Koordinaten der Punkte A, B und C ansieht, fällt auf, dass die z-Koordinate immer 3 ist. Die Fläche verläuft deshalb parallel zur x-y-Ebene.

Die z-Koodrinate des Punktes S beträgt -1. Der Punkt S ist deshalb 3-(-1)=4 Längeneinheiten von der Grundfläche ABC entfernt. Also beträgt die Höhe 4 Längeneinheiten.