Analytische Geometrie. Dreiseitige Pyramide mit Grundfläche ABC. Höhenfusspunkt? Höhe?

Question

Hallo an alle lieben Mitmenschen!

Ich muss hier eine Aufgabe lösen und bin bisschen am Verzweifeln, weil ich keinen passenden Ansatz finden kann.. Kann mir einer die Aufgabe erklären? 

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

Hallo hixna,              

ich schreibe  Vektoren  \(\vec{x}\)  in Zeilenschreibweise  [x₁, x₂, x₃]   und AB usw. ohne Pfeil.

Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\)  von Ebene ABC = e :    

AB = [-1, -3, 4] - [-1, 3, -2] = [0, -6, 6] = 6 * [0, -1, 1]   →  \(\vec{u}\) =  [0, -1, 1]  

AC = [7, -5, 2] - [-1, 3, -2] = [8, -8, 4] = 4 * [2, -2, 1]    →   \(\vec{v}\) = [2, -2, 1] 

Normalenvektor von e:    \(\vec{n}\) =  \(\vec{u}\) x  \(\vec{v}\)

\(\vec{n}\) = [0, -1, 1]  x  [2, -2, 1]  = [1, 2, 2]

Normalenform von e:

[1, 2, 2] * \(\vec{x}\) - [1, 2, 2] * [-1, 3, -2] = 0   ⇔  [1, 2, 2] * \(\vec{x}\) - 1 = 0

Lotgerade g durch S senkrecht zu e:

g:   \(\vec{x}\)  = [5, 3, 4] + r * [1, 2, 2] 

Der gesuchte Höhenfußpunkt H ist der Schnittpunkt H von g und e.

g in e einsetzen: 

[1, 2, 2] * ([5, 3, 4] + r_s * [1, 2, 2]) - 1 = 0

Ausrechnen und Zusammenfassen  →  r_s = -2 

 r_s  in g einsetzen   →  \(\vec{x_s}\)  = [5, 3, 4] + (-2) * [1, 2, 2]  = [3, -1, 0]   →  H(3|-1|0)   

Pyramidenhöhe =  | HS |  = | [5, 3, 4] - [3, -1, 0] | = | [2, 4, 4] | =  √(2² + 4² + 4²)  = 6 

Gruß Wolfgang

(Die Rechnerei ist ziemlich lästig, keine Garantie bzgl. möglicher Rechenfehler. Also bitte nachrechnen und RF ggf. in einem Kommentar anmerken.)