Bestimmen Sie für die dreiseitige Pyramide die Winkelgrößen zwischen allen Kanten und der Dreiecksfläche ABC.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die dreiseitige Pyramide die Winkelgrößen zwischen allen Kanten und der Dreiecksfläche ABC.

Problem/Ansatz:

Anhand der Skizze bilden A (3|0|0), B (3|3|0) und C (0|3|0) die Grundfläche. Punkt D (0|3|2) stellt dabei die Spitze der Pyramide dar.

Folgenden Lösungsansatz habe ich gewählt:

1. Aufstellen der Ebene in Parameterform: E:x= (3|0|0) + s*(3|3|0) + t* (0|3|0)

2. Ermittlung des Normalenvektors der Ebene mittels Kreuzprodukt: n = (0|0|9)

3. Vektor AD als Richtungsvektor der Geraden (Kante AD): (-3|3|2) -> Vektor u

4. Winkelberechnung: alpha = arcsin (n Skalarprodukt u / | u | * | n |) → Ich erhalte hier arcsin (1) , also alpha = 90 Grad.

Wenn ich mir jedoch die Zeichnung anschaue, dann ist es nicht möglich, dass die Kante AD mit der Grundfläche in einem Winkel zu 90 Grad steht, wodurch ich wohl eine Unstimmigkeit in meinem Lösungsansatz habe.

Könntet Ihr mir weiterhelfen, und vielleicht einen Tipp geben, an welchem Punkt mein Lösungsansatz falsch war, ich komme gerade nicht weiter

Viele Grüße

Answer 1

Hallo

du hast für deine Ebenengleichung statt der Richtungsvektoren AB und AC einfach die Punkte B und C genommen, also ist deine Ebene falsch.

Gruß lul

Comments

Danke für die schnelle Rückmeldung.

Wenn ich nun die Ebene korrekt bestimme, erhalte ich dennoch das selbe Kreuzprodukt, was mich wiederum zum selben Ergebnis führen würde.

Hast du eine Ahnung woran dies womöglich liegen könnte?

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Die Punkte der Grundfläche liegen alle in der xy-Ebene, da für alle drei Punkte gilt z = 0.

Der Normalvektor ist dann (0|0|1)

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Hallo

CD ist senkrecht auf der Grundfläche dein AD musst du schon vorrechnen aber das Skalarprodukt gibt den cos nicht sin.

Gruß lul

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Hallo,

wenn ich beispielsweise den Winkel der Kante BD berechne, erhalte ich Werte, die nicht berechenbar sind, bzw. ganz obskure Werte für sin/cos.

Könntest du mir an der Stelle möglicherweise mit einem Ansatz weiterhelfen, stehe gerade leider auf dem Schlauch mit dieser Aufgabe.

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\(sin(\alpha)=\frac{|\vec{u}\circ \vec{n}|}{\mid\vec{u}\mid\cdot \mid\vec{n}\mid}\\ \vec{u}=\overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix} -3\\0\\2 \end{pmatrix}\\ \alpha=sin^{-1}\bigg(\frac{2}{\sqrt{13}}\bigg)=33,69°\)

Answer 2

Das Skalarprodukt deiner Vektoren ist 18. Die dabei verwendeten Vektoren haben die Beträge 9 und √22.

Wie willst da damit auf den Quotienten 1 gekommen sein?

Ich kann nur ahnen, dass du (-3)² nicht richtig ausrechnen konntest.