Zeigen Sie, dass das Volumen dieser Pyramide von der Lage

Question

Aufgabe:

In einem Würfel mit der Kantenlänge 8 liegt der Punkt P auf der
Kante CG.
a) Die Punkte A, B, P und E bilden die Eckpunkte einer drei
seitigen Pyramide.
Zeigen Sie, dass das Volumen dieser Pyramide von der Lage
von P unabhängig ist.
b) Das Dreieck ABP liegt in der Ebene EABP.
Die Raumdiagonale CE schneidet diese Ebene im Punkt S.
Bei welcher Lage von P wird der Abstand der Punkte S und D
minimal?

Problem/Ansatz:

Bin gerade mitten in der Klausur Vorbereitung, die Aufgabe gabs zur Übung. Und jetzt, ich verstehe nix. Keiner meiner Ansätze macht Sinn, da mir die koordinaten für P fehlen. Diese kann ich zwar mit der Gerade GC ausrechnen. Aber wie beweise ich dann, dass P keinen Einfluss hat ? Iwie ergibt das für mich alles keinen Sinn. Hoffe jemand kann mir helfen oder mir wenigstens die Ansätze erläutern, damit ich selbst rechnen kann.

Answer 1

Vermutlich sind diese Bezeichnungen gemeint:

Wenn P auf CG liegt, haben alle Pyramiden ABEP die gleiche Grundfläche und die gleich Höhe und sind daher volumengleich.

Comments

Fast genauso sieht die Zeichnung auch aus. Grundfläche natürlich immer 32. Aber warum gleiche Höhe, wenn P doch verrutschen kann? Und wie zeige ich, dass die Höhe immer gleich bleibt?

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BC ist ein Höhe.

Answer 2

Hallo,

zu a)

Das Volumen einer Pyramide kannst du ausrechnen mit der Formel

\( V=\frac{1}{6}\big|\overrightarrow{A B} \circ(\overrightarrow{A C} \times \overrightarrow{A D})\big| \)

Hier wäre das: \( V=\frac{1}{6}\big|\overrightarrow{A B} \circ(\overrightarrow{A E} \times \overrightarrow{A D})\big| \)

Ich habe es mit den Punkten A (-4|0|0), B (4|0|0), E (-4|0|8) und P (4|8|k) gerechnet.

Du wirst sehen, dass bei der Bildung des Kreuzproduktes k wegfällt.

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob eine Beispielrechnung genügt.

Gruß, Silvia