Ebenes Viereck in einer quadratischen Pyramide?

Question

da ich absolut keinen Ansatz finden kann, benötige ich Eure Hilfe bei der Bearbeitung der Aufgabe a).

Für den Kontext:
Die Punkte A', B', C' und D' liegen in unterschiedlichen Höhen zur Pyramidengrundfläche auf den Pyramidenkanten:
B' auf der Höhe 2
A' und C' auf der Höhe 4
D' auf der Höhe 6

a) Ist A' B' C' D' ein ebenes Viereck?

Wie berechne ich nun, ob die Punkte A'B'C'D' ein ebenes Viereck bilden (ich bitte um den Lösungsweg + eventuell Erläuterung)?

Freue mich sehr auf Eure Antworten! ;)

Comments

anbei das Bild zur Aufgabe (klick drauf)

Das Viereck \(A'B'C'D'\) hat offensichtlich einen deutlichen Knick

Answer 1

Rechne zunächst die Punkte A' bis D' aus

A' = [0, 0, 8] + r·([6, 0, 0] - [0, 0, 8]) = [x, y, 4] --> x = 3 ∧ y = 0 ∧ r = 0.5

B' = [0, 0, 8] + r·([0, 6, 0] - [0, 0, 8]) = [x, y, 2] → x = 0 ∧ y = 4.5 ∧ r = 0.75

C' = [0, 0, 8] + r·([-6, 0, 0] - [0, 0, 8]) = [x, y, 4] --> x = -3 ∧ y = 0 ∧ r = 0.5

D' = [0, 0, 8] + r·([0, -6, 0] - [0, 0, 8]) = [x, y, 6] --> x = 0 ∧ y = -1.5 ∧ r = 0.25

Wenn diese Richtungsvektoren ein ebenes Viereck bilden dann sind die Richtungsvektoren A'B' ; A'C' und A'D' komplanar. Schaffst du das zu prüfen?

Comments

Danke für Deine ausführliche Antwort!!

Leider weiß ich nicht ganz genau wie zu prüfen ist, ob die Richtungsvektoren in der Ebene liegen...

---

Schaffst du es denn die Richtungsvektoren A'B' ; A'C' und A'D' aufzustellen?

Mit Geogebra sieht man übrigens zur kontrolle, dass es kein Ebenes Viereck ist, weil C' nicht in der Ebene von A', B' und D' liegt.

---

Die Richtungsvektoren habe ich berechnet:

A'B' = (A'-B') = [3, -4,5, 2]

A'C' = (A'-C') = [6, 0, 0]

A'D' =( A'-D') = [3, 1,5, -2]

Wie wäre der nächste Schritt?

---

Jetzt musstest du zeigen, dass die Vektoren nicht komplanar sind.

Also das Gleichungssystem

r * [3, -4,5, 2] + s * [3, 1,5, -2] = [6, 0, 0]

hat keine Lösung.

---

Vielen herzlichen Dank!

Answer 2

1. Es handelt sich um ein ebenes Viereck, wenn sich die Geraden \(B'D'\) und \(A'C'\) in einem Punkt schneiden.
2. Es handelt sich um ein ebenes Viereck, wenn sich \(\vec{D'B'}\) als Linearkombination von \(\vec{D'A'}\) und \(\vec{D'C'}\) darstellen lässt.

Suche dir eines dieser Kriterien aus und rechne nach. Dazu benötigst du die Koordinaten der Punkte \(A'\), \(B'\), \(C'\) und \(D'\). Du kannst z. B. den Punkt \(A'\) berechnen indem du berechnest, welcher der Punkte \((x|4|z)\) auf der Geraden \(SA\) liegt.