Hallo,
Also? Wie geht das denn jetzt?
Gut, dass Du nachgefragt hast ... ;-)
Ne weiß ja nicht woran es liegt, also kann ich auch keine konkrete Frage stellen..
das ist ziemlich schlimm. D.h. dass Dir da bereits massiv Grundlagen fehlen. Das macht das Antworten von unserer Seite nicht einfach!
.. von PQ müsste müsste doch q - p machen oder nicht?
Ja das ist richtig - wenn man den Vektor von \(P\) nach \(Q\) berechnet, so zieht man die Koordinaten von \(Q\) von denen von \(P\) ab. Konkret $$\vec{PQ} = Q - P = \begin{pmatrix}3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix}$$Jetzt weißt Du vielleicht nicht, wie man zu den Koordinaten von \(P\) kommt, davon später.
Betrachten wir zunächst den Punkt \(E\). \(E\) liegt offensichtlich auf der Z-Achse (\(X_3\)-Achse) und daher ist seine X- und Y-Koordinate \(=0\) (bzw. \(X_1\)- und \(X_2\)-Koordinate). Die Z-Koordinate folgt aus der Positiion der Punkte \(B\) und \(Q\). Klar ich könnte Dir jetzt vorrechnen, wie Du die Gerade durch \(B\) und \(Q\) aufstellst und dann den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Z-Achse berechnest. Halte ich aber für sinnfrei. IMHO würdest Du das bestenfalls abschreiben ohne kapiert zu haben, was da abgeht.
Deshalb habe ich Dir die Pyramide in Lego nachgebaut (solltest Du auch tun; muss ja kein Lego sein)
Zur Orientierung habe ich Dir die Punkte \(A\) und \(B\) markiert. Das sind die unteren beiden Ecken. Ein Noppen ist eine Einheit in horizontaler Richtung und eine Lage Steine soll eine Einheit in vertikaler Richtung darstellen. Der Punkt \(Q\) ist unter dem kleinen violetten Stein hinter dem Auge. \(Q\) hat die \(X_3\)-Koordinate 4 und muss demnach 4 Steinlagen hoch liegen.
Jetzt versuche bitte heraus zu bekommen, welche Z-Koordinate (bzw. \(X_3\)-Koordinate) der Punkt \(E\) hat. Tipp: \(E\) befindet sich oben auf der Pyramide in der Mitte.
Das Ziel ist es doch, den Punkt \(S\) zu berechnen. \(S\) ist der Schnittpunkt der Geraden \(g\) durch \(D\) und \(E\) und der Ebene \(F\), die durch die drei Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) definiert ist. Die Gerade \(g\) durch \(D\) und \(E\) wird i.A. so aufgestellt:$$g: \quad \vec x = D + t \cdot (E-D) \\ \phantom{g: \quad \vec x} = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 16\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} \right) \\ \phantom{g: \quad \vec x} = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 16\end{pmatrix}$$
Ist Dir klar wieso die Geradengleichung so aussieht?
Als nächstes brauchen wird die Ebene \(F\). Das ist im Prinzip wie bei einer Geraden, nur eben mit zwei Richtunsgvektoren. Hier ist \(F\)$$\begin{aligned}F: \quad \vec x &= P + r(Q-P) + s(R-P) \\ &= \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} + r\left(\begin{pmatrix}3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} \right) + s\left(\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} \right) \\&= \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\end{aligned}$$Im Schnittpunkt \(S\) muss das \(\vec x\) der Gerade \(g\) derselbe Punkt sein wie das \(\vec x\) der Ebene \(F\). Also setzen wir beides gleich$$\begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 16\end{pmatrix}$$und sortieren so um, dass alle Parameter auf einer Seite landen$$r\begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} \\ r\begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ -16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\ -2\\ -8\end{pmatrix}$$Dies ist ein sogenanntes lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten \(r\), \(s\) und \(t\). Wir müssen das nicht vollständig lösen, es reicht das \(t\) zu berechnen.
Weißt Du wie das geht?
Das Ergebnis ist \(t=11/14\). Und damit kann man den Punkt \(S\) berechnen, indem man dieses \(t\) in die Geradengleichung für \(g\) einsetzt (s.o.):$$S = g\left(t= \frac{11}{14}\right) = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + \frac{11}{14} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 16\end{pmatrix} = \frac 17 \begin{pmatrix}-6\\ -6\\ 88\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}-0,857\\ -0,857\\ 12,571\end{pmatrix}$$
c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Geraden BE und QR?
Den Winkel zwischen zwei Vektoren - und das sind hier die Vektoren \(\\vec{BE}\) und \(\vec{QR}\) - bekommt man aus dem Skalarprodukt der Vektoren heraus. Ist \(\alpha\) der Winkel zwischen den Vektoren, so gilt$$ \vec{BE} \cdot \vec{QR} = |\vec{BE}| \cdot |\vec{QR}| \cdot \cos(\alpha)$$umgstellt nach \(\cos(\alpha)\) gibt das $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{BE} \cdot \vec{QR}}{|\vec{BE}| \cdot |\vec{QR}| }$$Dazu musst man natürlich wissen, wie man Skalarprodukt und Betrag berechnet.
Weißt Du das?
Das Ergebnis ist $$\cos(\alpha) = \frac{(-4)\cdot(-4) + (-4)\cdot(-2)+ 16\cdot 8}{\sqrt{(-4)^2+ (-4)^2 +16^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 8^2}} = \frac{152}{\sqrt{24192}} \approx 0,9773 \\ \implies \alpha \approx 12,2°$$
Ich gehe davon aus, dass Dir einiges unklar ist. Versuche immer konkrete Fragen zu stellen. Du musst dringend die Basics nachholen. Was ist ein Punkt im Koordinatensystem? Was ist ein Vektor? Was bedeutet eine Geradengleichung in Parameterform?
Gruß Werner
