Finde die Gleichung des Kreises mit dem Zentrum M(-2,1) der tangent zur Geraden x - y = 0 ist.

Question

Aufgabe:

Finde die Gleichung des Kreises mit dem Zentrum M(-2,1) der tangent zur Geraden x - y = 0 ist.

Problem/Ansatz:

Wie genau gehe ich vor?

Answer 1

In dem Gleichungssystem

(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=r^{2}   ∧   x - y = 0

ist derjenige Radius r gesucht, für den das System eindeutig lösbar ist. Wird die zweite Gleichung umgeformt zu x=y, kann sie in dieerste eingesetzt werden. Es entsteht eine quadratische Gleichung in x (oder y), die nach x (oder y) umgestellt werden kann. Es ergibt sich zum Beispiel:

(x+2)^{2}+(x-1)^{2}=r^{2}

x^2 + 4*x + 4 + x^2 - 2*x +1 = r^2

2*x^2 + 2*x + 5 = r^2   |   : 2

x^2 + x + 5/2 = r^2/2   |   - r^2/2

x^2 + x + 5/2 - r^2/2 = 0

x = -1/2 ± √( (1/2)^2 - (5/2 - r^2/2) )

x = -1/2 ± √( r^2/2 - 9/4 )

Damit die Lösung eindeutig ist, muss die Diskriminate (also das, was unter der Wurzel ist) verschwinden (also Null werden). Es muss also gelten:

r^2/2 - 9/4 = 0

r^2/2 = 9/4

r^2 = 9/2

r = √(9/2)

Einsetzen in die Kreisgleichung oben ergibt schließlich:

(x+2)^{2}+(y-1)^{2} = 9/2.

Comments

Genau das habe ich gesucht! Danke! Somit komme ich auf die Kreisgleichung (x+2)² + (y-1)² = \( \frac{9}{2} \)

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Ja, sehr schön. Rechts fehlt aber noch das Quadrat.

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Hab ich korrigiert, danke.

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Perfekt! :-)

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Genau das habe ich gesucht!

Eigentlich Schade ... hier wird doch mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Eine Zeichnung hätte gereicht ...

... und man kann \(r^2\) bzw. die Kreisgleichung 'ablesen'.

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Als ich über die Aufgabe nachdachte, war mir bereits klar, dass es viele Wege gibt, sie zu lösen. Ich wollte den bislang noch nicht genannten Weg über die in der Frage erwähnten Koordinatengleichungen skizzieren.

Answer 2

geometrisch: Das Lot von M auf die Gerade x - y = 0 schneidet die Gerade in B. MB ist der Radius des Kreises.

analytisch: Die Gerade x - y = 0 hat die Steigung 1. Das Lot von M auf die Gerade x - y = 0 hat die Steigung -1. Die Gerade g durch M mit der Steigung -1 schneidet die Gerade x - y = 0 in B. MB=r ist der Radius des Kreises mit der Gleichung (x+2)²+(y-1)²=r².

Answer 3

Aloha :)

Die Gerade \(y=x\) hat den Richtungsvektor \(\frac1{\sqrt2}\binom{1}{1}\). Darauf senkrecht steht der Richtungsvektor \(\frac1{\sqrt2}\binom{1}{-1}\). Wenn wir von Mittelpunkt \(M(-2;1)\) in Richtung dieses Vektors gehen, erreichen wir irgendwann einen Punkt, an dem die beiden Koordinaten gleich sind. Daraus lässt sich der Radius \(r\) des Kreises berechnen:$$\binom{-2}{1}+\frac{r}{\sqrt2}\binom{1}{-1}\stackrel!=\binom{x}{x}$$Die erste Koordinate muss also gleich der zweiten Koordinate sein:$$-2+\frac{r}{\sqrt2}=1-\frac{r}{\sqrt2}\implies\sqrt2\,r=3\implies r=\frac{3}{\sqrt2}$$Damit ist die gesuchte Kreisgleichung:$$(x+2)^2+(y-1)^2=\frac92$$

Der Berührpunkt ist dann \(\left(-\frac12\,\big|\,-\frac12\right)\), denn \(x=1+\frac{\frac{3}{\sqrt2}}{\sqrt2}(-1)=1-\frac32=-0,5\).

~plot~ sqrt(9/2-(x+2)^2)+1 ; -(sqrt(9/2-(x+2)^2)-1) ; x ; {-2|1} ; {-0,5|-0,5} ~plot~

Answer 4

Der Mittelpunkt ist bekannt. Der Radius ist die Länge der Strecke vom Mittelpunkt bis zum Punkt (-0.5  -0.5)

Comments

Und wie komm ich an den Punkt (-0.5;-0.5)?

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Zeichne Dir den Kreis (mit angegebenem Mittelpunkt und Radius) und die Gerade auf, dann wirst Du es ziemlich sicher verstehen.