Wo liegt bei einer Pyramide der Punkt R der von allen Kanten denselben Abstand hat

Question

Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Eckpunkte der Pyramide haben die Koordinaten A(4/0/0); B(4/4/0); C(0/4/0); D(0/0/0) und die Sptize S(2/2/4). Bestimmen Sie den Punkt R der von 8 allen Kanten denselben Abstand hat. Hinweis: Der Punkt befindet sich auf der Lotgeraden zu S, da er sonst unterschiedliche Entfernungen zu den Grundkanten hätte.

Answer 1

Fassen wir den Abstand Punkt P zur Geraden \(g(t):= \vec{o} + t \vec{r} \) zusammen erhalten wir.

d=sqrt( (g( r*(P-o)/r^2 ) - P )^2 )

Betrachte eine Gerade der Grundfläche und eine Gerade zur Spitze

Punkt auf Gerade(B,C) = \( \mathbf{g_g(t) \, :=  \,  \left(4 \; t + 4, 4, 0 \right)}\)

Punkt auf Gerade(S,C) = \(\mathbf{g_k(t) \, :=  \,  \left(2 + 2 \; t, 2 - 2 \; t, 4 + 4 \; t \right)} \)

Punkt auf Lotgerade von S sei P = \( \mathbf{g_s(t) \, :=  \,  \left(2, 2, 4 - t \right)} \)

\( d_g = d_k \)

\( \mathbf{\frac{2}{3} \; t^{2} - 8 \; t + 20} =0 =>  \)

\( \mathbf{ \left\{ t_1 = -\sqrt{6} + 6, t_2 = \sqrt{6} + 6 \right\} } \)

 P= g_s( -\sqrt{6} + 6 ) =  \( \mathbf{ \left(2, 2, \sqrt{6} - 2 \right)}\)

so etwa...