Welcher von allen Extrempunkten hat von Punkt P(0|2) minimalen Abstand?

Question

Aufgabe:

Welcher von allen Extrempunkten hat von Punkt P(0|2) minimalen Abstand?

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Extrempunkte E1 (0/0) und E2 (2/3k / 4/27k²) ich weiß aber nicht wie ich anfangen muss. Ich weiß nur, dass ich d² brauche, aber weiß nicht mal was d² ist.

Answer 1

Hallo,

du hast einerseits $\overline{E_1P}=2$ und andererseits das Quadrat der Abstandsfunktion zwischen $E_2$ und $P$:$$d^2(k)=\left(\frac{2}{3}k-0\right)^2+\left(\frac{4}{27}k^2-2\right)^2$$ Damit führst du jetzt eine Kurvendiskussion, um das Minimum zu bestimmen. Vergleiche anschließend mit $\overline{E_1P}$. Ich erhalte für $\overline{E_2P}=\frac{\sqrt{15}}{2}<\frac{\sqrt{16}}{2}=2=\overline{E_1P}$

Comments

Ich weiß nicht ganz was ich mit  d² machen. Habe es versucht auszurechnen aber irgendwie klappt das alles nicht :(

---

Woran hängt es konkret? An der Ableitung, am Ausmultiplizieren der Binome?

---

Am ausmultiplizieren bekomme

4/9k - 50k²/ 27k² raus

---

Es ist übrigens nicht vonnöten, auszuklammern!

Wende einfach die Kettenregel auf die beiden Binome an, die Ableitung brauchst du ja so oder so.

---

Das Quadrat der ersten Klammer ist $\frac{4}{9} k^2$.

Das Quadrat der zweiten Klammer ist $\frac{16}{729} k^4-\frac{16}{27} k^2+4$.

---

Die Kettenregel haben wir im Unterricht noch nicht angewendet :(

---

Dann multipliziere erst aus, abakus hat dir das gezeigt, und leite dann nach der potenzregel ab und bestimme die Nullstellen.

---

Wie kann ich das ableiten, weil da ist ja kein x nur der Parameter K ?

---

Das $k$ ist, so wie $x$, eine Variable. Stell dir einfach vor, dass dort statt $k$ ein $x$ stünde - das ist vollkommen unerheblich.

---

Wäre die Ableitung dann 64/729 k³ - 32/27k + 4/9

Answer 2

Ich habe zwei Extrempunkte $E 1\left(\frac{0}{0}\right)$ und $E 2\left(\frac{2}{3} k \mid \frac{4}{27} k^{2}\right)$

$x=\frac{2}{3} k \rightarrow k=\frac{3}{2} x \rightarrow k^{2}=\frac{9}{4} x^{2}$
$y=\frac{4}{27} k^{2} \rightarrow y=\frac{4}{27} \cdot \frac{9}{4} x^{2} \rightarrow y=\frac{1}{3} x^{2}$ Parabel (ist Ortslinie aller Extremwerte)
Kreis um $P(0 \mid 2)$ mit Radius $r$
$x^{2}+(y-2)^{2}=r^{2} \rightarrow(y-2)^{2}=r^{2}-x^{2}$
$y=\pm \sqrt{r^{2}-x^{2}}+2$
Berührpunkt:
$\frac{1}{3} x^{2}=\pm \sqrt{r^{2}-x^{2}}+2$
$\frac{1}{3} x^{2}-2=\pm\left.\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right|^{2}$
$\frac{1}{9} x^{4}-\frac{1}{3} x^{2}=r^{2}-4 \mid \cdot 9$
$x^{4}-3 x^{2}=9 \cdot r^{2}-36$
$\left(x^{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}=9 \cdot r^{2}-36+\frac{9}{4}$
$x^{2}=\frac{3}{2}$ weil Diskriminante $=0$
$B_{1,2}\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}} \mid \frac{1}{2}\right)$
$k=\frac{3}{2} \cdot x \rightarrow k=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}$
$E 2\left(\frac{2}{3} k \mid \frac{4}{27} k^{2}\right) \rightarrow E 2\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \mid \frac{4}{27} \cdot\left(\frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\right)^{2}\right) \rightarrow E_{2}\left(\sqrt{\frac{3}{2}} \mid \frac{1}{2}\right) \mathrm{mfG}$ Moliets