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Ich habe zweimal 6 Werte, nennen wir sie a, b, c, x, y, z. Die Variablen können bei den zwei "Einheiten" unterschiedliche Werte annehmen. Die Ergebnis-Einheit (die dritte sozusagen) hat ebenfalls 6 Werte, von denen 5 von den ersten zweien übernommen werden. Die Regeln hierbei sind: es wird mindestens ein Wert aus einer Einheit übernommen. Wenn ein Wert von einer Einheit übernommen worden ist, kann dieselbe Variable von der anderen Einheit nicht mehr übernommen werden. Einer der Variablen wird gar nicht übernommen und zufällig berechnet. Die Variablen können Zahlen von 0 bis 31 annehmen.

Die Zahlen der Ausgangs-Einheit sind hierbei immer bekannt und beeinflussbar (also gegeben).

Bsp.: Die erste Einheit hat 31 - 10 - 31 - 23 - 31 - 25.

Die zweite Einheit hat 0 - 31 - 23 - 31 - 24 - 31.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass meine Ergebnis-Einheit genau die 5 (bzw. 6) von mir gewünschten Zahlen annimmt? (z.B. 31 - 31 - 0 - 31 - 31 - 31). Bitte nachvollziehbar mit Rechenweg!
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Lösung

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Ergebnis-Einheit genau die gewünschten Zahlen annimmt, müssen mehrere Faktoren berücksichtigt werden. Wir haben zwei Einheiten mit jeweils 6 Werten. Von diesen Werten werden 5 in die Ergebnis-Einheit übernommen, und eine Variable wird zufällig bestimmt.

Schritt 1: Festlegen der variablen Werte

Die gegebenen Werte der Einheiten sind:
1. Einheit: \((31, 10, 31, 23, 31, 25)\)
2. Einheit: \((0, 31, 23, 31, 24, 31)\)
Ergebnis-Einheit: \((31, 31, 0, 31, 31, 31)\)

Schritt 2: Bestimmen der Möglichkeiten der Übernahme

Da mindestens ein Wert aus jeder Einheit genommen wird und kein Wert doppelt aus den Einheiten genommen werden kann, müssen wir alle möglichen Kombinationen durchgehen, um zu berechnen, welcher Wert nicht übernommen wird und danach die Zufallskomponente berücksichtigen.

Schritt 3: Kombinationen überprüfen

Gegeben ist, dass wir hoffen, die spezifische Konfiguration \((31, 31, 0, 31, 31, 31)\) zu erreichen. Wir müssen überprüfen, ob diese Konfiguration durch eine Übernahme möglich ist.

Reihenfolge der Übernahme aus beiden Einheiten:

1. Wert: \(a = 31\) – Dies kann von beiden Einheiten übernommen werden.
2. Wert: \(b = 31\) – Dies kann von beiden Einheiten übernommen werden.
3. Wert: \(c = 0\) – Dies muss von der zweiten Einheit übernommen werden, da es in der ersten nicht existiert.
4. Wert: \(x = 31\) – Dies kann von beiden Einheiten übernommen werden.
5. Wert: \(y = 31\) – Dies kann nur von der ersten Einheit übernommen werden, weil \(y\) bei der zweiten Einheit 24 ist.
6. Wert: \(z = 31\) – Dies muss aus der ersten Einheit übernommen werden, wie auch die anderen 31-Werte.

Schritt 4: Ausschluss der Qualifikationen

Da ein Wert zufällig bestimmt wird, müssen wir den Wert ausschließen, den wir zufällig holen wollen. Korrekt überprüfen:

Da \(c\) nur von Einheit 2 kommen kann, muss \(c\) 0 sein.
Der Zufallswert kann eine beliebige Zahl von 0 bis 31 sein. Folglich, die Wahrscheinlichkeit ist ebenfalls 1/32, weil jedes beliebige Ergebnis möglich ist.

Zusammenfassung aller Ergebnisse:

- \(a= 31\) (möglich von beiden Einheiten)
- \(b=31\) (möglich von beiden Einheiten)
- \(c=0\) (nur von der zweiten Einheit)
- \(x=31\) (möglich von beiden Einheiten)
- \(y=31\) (nur von der ersten Einheit)
- \(z=31\) (nur von der ersten Einheit)

Die Wahrscheinlichkeit, einen spezifischen Wert aus der gesamten Einheiten über die Zufallskomponente nach sofortiger Erfüllung:

\( \frac{1}{32} \)

Da alle möglichen Übernahmen korrekt nur bewiesen werden kann, erfüllt korrekt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnis-Einheit exakt \(31, 31, 0, 31, 31, 31\) durch beide Kombinationen plus eine zufällige Variable entspricht, ist:

\( \boxed{\frac{1}{32}} \)
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