Beweis unendlich viele Primzahlen

Question

Satz. Es gibt unendlich viele Primzahlen. \\ Wir führen einen Beweis durch Widerspruch: \\ Wir nehmen an, es gäbe endlich viele Primzahlen. Sei p die größte Primzahl. Jede Zahl n>p ist durch $$1<q \leq p$$ teilbar. Betrachten nun n=p!+1 . n>p und n ist nicht teilbar durch q, da für alle q gilt $$p! =n-1$$ ist durch q teilbar $$\implies p !+1=n$$ Widerspruch, da solch ein p nicht existiert.

Kann mir jemand erklären, was ich hier falsch gemacht habe?

Geht generell um Beweisführung, mir wurde gesagt, dass mein Ende nicht ganz klar ist.

Comments

https://www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i_unendlprimz.html

Answer 1

Kein Fehler aber Unvollständigkeiten.

Sei p die größte Primzahl. Jede Zahl n>p ist durch q ,mit
1<q≤p
teilbar. Betrachten nun n=p!+1 . n>p und n ist nicht teilbar durch q, da für alle q gilt
p!=n−1
ist durch q teilbar
⟹p!+1=n und n ist Primzahl
Widerspruch, da solch ein p nicht existiert.