(-1)^{n+1} von n=1 bis unendlich ist nicht konvergent. Beweis durch Widerspruch.

Question

Ich habe hier eine gelöste Aufgabe:

Die Folge \( \left\lbrace (-1)^{n+1} \right\rbrace _{n=1}^\infty \) ist nicht konvergent. Zum Beweis nehmen wir das Gegenteil an:

Sei also a ihr Limes.
Für ε := 1/4 gibt es dann ein N mit a_n ∈ U_1/4(a) für jedes n > N.
Es folgt 1 ∈ U_1/4(a) ⇔ |1-a| < 1/4
und -1 ∈ U_1/4(a) ⇔ |-1-a| < 1/4

Bis hierhin habe ich es verstanden. Nun aber:
2 = |1 - (-1)| = |1 - a - (-1 - a)| ≤ |1-a| + |-1-a| < 1\4 + 1\4 = 1\2
Also ist der Widerspruch gegeben 2 < 1/2.

Nun wie sind wir auf |1 - a - (-1 - a)| und |1-a| + |-1-a| gekommen?
Wiese dürfen wir die beiden Eigenschaften:
Es folgt 1 ∈ U_1/4(a) ⇔ |1-a| < 1/4
und -1 ∈ U_1/4(a) ⇔ |-1-a| < 1/4
So kombinieren?

Answer 1

Hi,

Wie kommt man auf diese ganzen Umformungen?

Lies mal die Zeile von rechts nach links. Dann macht die Herangehensweise auch mehr Sinn. Es wurde die Dreiecksungleichung verwendet.

Warum darf ich ...  kombinieren?

Weil die Folge nur die 2 Werte 1 und -1 annimmt. Die Eigenschaften die kombiniert werden entsprechen aber grade der Definition der Konvergenz der Folge.

Gruß