Sprachliche Beweise (Induktion, Gauß)

Question

Satz. Die Summe der ersten n positiven Zahlen ist $$n(n+1) / 2$$ .\\ Wir führen einen Beweis durch vollständige Induktion.\\ 

Den Induktionsanfang bildet, dass die Summe der ersten Zahl, also 1 gleich 1(1+1)/2 ist\\
Für den Induktionsschritt gelte, dass die Summe der ersten n Zahlen gleich n(n+1)/2 ist und wir wollen zeigen, dass dann die Summe der ersten n+1 Zahlen gleich (n+1)(n+2)/2 wäre.\\
Nun sei die Summe der ersten n+1 Zahlen gleich der Summe der ersten n Zahlen und n+1.\\
Da nach Induktionsvoraussetzung die Summe der ersten n Zahlen gleich n(n+1)/2 wäre, folgt, dass die Summe der ersten n+1 Zahlen n(n+1)/2+(n+1) wäre.\\
Der Induktionsschritt lautet $$ n(n+1)/2+(n+1) \implies n(n+1)/2+2(n+1)/2 \implies (n^2+n+2n+2)/2 \implies  (n+1)(n+2)/2$$.
Aus Induktionsannahme bis Induktionsschritt folgt Behauptung.

Problem/Ansatz:

Soll die Induktion sprachlich durchführen und auf Trennung der Ebenen achten

Kann mir jemand sagen, ob das so korrekt ist?

Answer 1

Die sprachliche Durchführung, so wie sie da steht, ist etwas holprig:

Die Folgepfeile ⇒sollen Gleichheitszeichen sein.

n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)[n/2+1)=(n+1)[n/2+2/2)=(n+1)(n+2)/2

Klammere das rote aus! Klammere 1/2 aus!

Der Schlusssatz muss heißen:

Aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt folgt die Behauptung.

Induktionsanfang: die Summe der ersten Zahl, also 1, ist laut Formel gleich 1(1+1)/2. Damit stimmt die Formel schon mal für n=1.

Ind.annahme: Nehmen wir mal an, die Formel stimmt für ein gewisses k (nicht das allgemeine n von oben). Können wir beweisen, dass sie dann für k+1 gilt? Wenn ja, nennt man diesen Beweis Induktionsschritt.

Induktionsschritt: Wenn die Summe der ersten n Zahlen gleich n(n+1)/2 ist, wollen wir zeigen, dass dann die Summe der ersten n+1 Zahlen gleich (n+1)(n+2)/2 wäre.

Nun ist die Summe der ersten n+1 Zahlen gleich der Summe der ersten n Zahlen plus n+1.\\
Da nach Induktionsvoraussetzung die Summe der ersten n Zahlen gleich n(n+1)/2 wäre, folgt, dass die Summe der ersten n+1 Zahlen n(n+1)/2+(n+1) wäre.\\
Also: n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)[n/2+1)=(n+1)[n/2+2/2)=(n+1)(n+2)/2

Dies entspricht der Formel, die dadurch bewiesen wurde. Aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt folgt die Behauptung. (Die Annahme beweist nichts.)

Comments

Zur IA das k ist der Schrittzähler der Summe?

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Das k ist eine bestimmte nat. Zahl, für die wir annehmen, dass die Aussage(k) gilt. Diese Annahme ist berechtigt durch die erfolgreiche Ind.verankerung, denn dadurch gibt es ein k, nämlich 1, für das die Aussage gilt. Im Induktionsschritt beweist man, dass die Aussage für k+1 auch gilt, falls sie für k gilt. Man beweist nicht, dass sie für k gilt, man beweist:

Wenn A(k) richtig, dann A(k+1) richtig.

Man beweist das "Wenn,    dann"