Finden Sie zwei Vektoren z, w ∈ R ⁴ , sodass die Menge {x, y, z, w} zu einer Basis von R ⁴ wird.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Vektoren x = (2, 1, 4, 3) und y = (2, 1, 2, 0) in R^4. Zuerst zeigen Sie, dass x und y linear unabhängig sind. Danach finden Sie zwei Vektoren z, w ∈ R^4, sodass die Menge {x, y, z, w} zu einer Basis von R^4 wird.

Comments

Dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind, müsstest du selbst hinkriegen.

Welchen Ansatz hast du bisher versucht?

Answer 1

Die beiden Vektoren sind l.u., da die Gleichung x(2, 1, 4, 3)^T + y(2, 1, 2, 0)T = \( \vec{0} \)^T nur die triviale Lösung x=y=0 hat.

Den ersten Vektor \( \vec{a} \)  ersetze ich mal durch \( \vec{a} \) -\( \vec{b} \) , damit die Zahlen einfacher werden.

Das Erzeugnis <\( \vec{a} \),\( \vec{b} \)>=<\( \vec{a} \)-\( \vec{b} \),\( \vec{b} \)>=<(0, 0,2, 3)^T ,(2, 1, 2, 0)^T )> ändert sich dadurch ja nicht.

Die zusätzlichen 2 Vektoren (1, 0,0, 0)^T ,(0, 1,0, 0)^T könnten passen. Prüfen wir es nach, ob alle 4 l.u. sind:

x(2, 1, 4, 3)^T + y(2, 1, 2, 0)^T + z(1, 0,0, 0)^T + w(0, 1,0, 0)^T = \( \vec{0} \)^T

Glück gehabt! Es ex. nur die triviale Lösung x=y=z=w=0, also sind die 4 Vektoren l.u.. Da es 4 sind, also soviele wie die Dimension des ℝ⁴, bilden sie eine Basis des ℝ⁴.