Untervektorraum W in R^{3} finden, sodass die Summe von W mit V des R^{3} ist ?

Question

V = { (x,y,z) \in R^3 : x = y - 4z} ist UVR, das habe ich bewiesen.

Nun ist die Frage : wie kann man möglichst einen kleinen UVR W in R^3 finden, sodass die Summe von W mit V der R^3 ist.

Answer 1

Bestimme eine Basis B von V.

Ergänze zu einer Basis C von R³.

C\B ist eine Basis von W.

Comments

Hallo Oswald. Ich weiß nicht ob ich das richtig angehe

x = y - 4z

[y - 4·z, y, z] = y·[1, 1, 0] + z·[-4, 0, 1]

Ist jetzt nicht [1, 1, 0] ; [-4, 0, 1] eine Basis von V?

Eine Basis vom R^3 ist dann

[1, 1, 0] ; [-4, 0, 1] ; [1, 0, 0]

Ist jetzt W

W = { (x,y,z) \in R^3 : y = z = 0}

Irgendwie kann das ja nicht sein oder?

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W ist geometrisch eine Gerade und nicht eine Ebene.

Das wäre bei W = { (x,y,z) \in R3 : y = z = 0} erfüllt.

Nun einfach noch schauen, ob (1,0,0) nicht in der Ebene V liegt.

Answer 2

sodass die Summe von W mit V des R^3 ist.

Du meinst vermutlich

sodass die direkte Summe von W und V des R^3 ist.

V = { (x,y,z) \in R3 : x = y - 4z}
x - y + 4z = 0 hat den Normalenvektor n = (1, -1, 4) 
Nun W:=  { (x,y,z) \in R3 : (x,y,z) = t*(1, - 1, 4) , t Element R }