Was kriegt man durch die jeweiligen Ableitungen wenn man sie gleich null setzt?

Question

Wenn man die erste Ableitung einer Funktion gleich null setzt bekommt man den Punkt an dem die Steigung null ist.

Aber wie sieht es mit den folgenden Ableitungen aus?

Answer 1

1. Ableitung =0 → Extremstelle, falls 2. Ableitung ungleich Null.

Answer 2

zweite Ableitung = 0

wenn an der Stelle die Krümmung 0 ist,

also Übergang von rechts nach links gekrümmt.

Comments

Ist es nicht so dass die erste Ableitung schon voraussetzt dass die Krümmung also Steigung null ist? und wann ist sie von links nach rechts gekrümmt? Bei ungleich null?

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Krümmung und Steigung sind zwei unterschiedliche Dinge.

Wenn in einem Intervall

- f'(x) < 0, dann fällt der Graph streng monoton, die Steigung ist also negativ

- f'(x) > 0, dann steigt der Graph streng monoton, positive Steigung

Ändert sich das Monotonieverhalten an einer Stelle, von steigend zu fallend oder umgekehrt, liegt ein Extrempunkt vor.

- f''(x) < 0, der Graph ist rechtsgekrümmt

- f''(x) > 0, der Graph ist linksgekrümmt

Wendepunkte sind Punkte, an denen der Graph seine Krümmung wechselt.

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und wie geht man weiter vor wenn f " (x) = 0 ist?

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Dann prüft man, ob f'''(x) ungleich 0 ist.

Answer 3

Hi,

das ist richtig.

Wenn Du noch die zweite Ableitung 0 setzt, erhältst Du informationen über einen möglichen Wendepunkt (was mit der dritten Ableitung überprüft werden muss). Weitere Spezialfälle braucht man eigentlich nicht zu kennen.

Grüße

Comments

Welche Informationen erhalte ich genau?

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Für einen Wendepunkt hast Du die notwendige Bedingung, dass f''(x) = 0 gelten muss. Alleine das reicht aber nicht aus um sicher zu gehen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt. Das musst Du im Normalfall mit der dritten Ableitung überprüfen.

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und was muss dann für die dritte Ableitung herauskommen?

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In der Schule wird hier ein Wert ungleich 0 erwartet. Dann liegt in jedem Falle ein Wendepunkt vor. Sollte die dritte Ableitung ebenfalls 0 sein, muss man weiter untersuchen. Dazu auch die weiterführende Antwort von Helmus: https://www.mathelounge.de/681558/wann-handelt-sich-dritten-ableitung-nicht-einen-wendepunkt?show=681570#c681570

Answer 4

2.Ableitung = 0 : Krümmung ist 0
Gerades Kurvenstück, Übergang von Links-
auf Rechtskrümmung oder umgekehrt.

Comments

Also wenn man bei der 2. Ableitung für mit gegebenem x dann auf der anderen Seite null herausbekommt, dann ist das Kurvenstück gerade und bleibt auch so? Woher weiß ich ob es eine links oder Rechtskrümmung ist?

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f ´´( x ) =0 : gerade ; keine Krümmung

f ´´( x ) < 0 : rechtskrümmung
Beispiel
f ( x ) = - x^2 : eine nach unten geöffnete Parabel
f ´( x ) = - 2 * x
f ´´( x ) = - 2

Stell dir die Kurve als Sraße vor die du von links
nach rechts abfährst. Die Straße ist überall
rechtsgebogen.

f ´´( x ) > 0 : linkskrümmung
Beispiel
f ( x ) = x^2 : eine nach oben geöffnete Parabel
f ´( x ) = 2 * x
f ´´( x ) = 2