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Aufgabe:
Es sei p eine Primzahl und V der Fp-Vektorraum Fp3.
a) Wie viele Paare (v,w) von linear unabhängigen Vektoren gibt es in V?
b) Wie viele Unterräume der Dimension 2 gibt es in V?
Problem/Ansatz:
Ich habe etwas herumprobiert und zunächst festgestellt, dass sich alle Vektoren aus V durch p3 - 1 darstellen lassen. Den Nullvektor habe ich direkt durch die -1 ausgeschlossen, da er ja zu keinem Vektor linear unabhängig ist. Dann habe ich alle Kombinationen von Vektorpaaren aufgestellt. Auch dafür konnte ich durch etwas nachdenken und mithilfe der Gaußschen Summenformel eine Formel aufstellen. So beschreibt
\( \frac{((p^3-1)-1)^2-((p^3-1)-1)}{2} \)
die Anzahl aller möglichen Vektorpaare in einem Fp3 \ {0}
Jetzt muss bei dieser Formel ja noch die Anzahl aller linear abhängigen Vektoren abgezogen werden um auf das Ergebnis zu kommen. Und da bin ich grade echt am verzweifeln. Ich habe auch da Ansätze, aber die führen nur direkt ins nichts, deswegen lass ich die hier mal raus. Ich bitte um eure Hilfe. !!
