Rationale Zahlen als Brüche mit Hilfe von ∞GR

Question

BEISPIEL:

Gesucht ist die Bruchdarstellung der rationalen Zahl ( 0.7 \overline{12}... \)

Schreibe \( 0.7 \overline{12} \ldots \) als Summe: \( 0.7 \overline{12} \ldots=\frac{7}{10}+\frac{12}{1000}+\frac{12}{100000}+\cdots \) und erkenne die \( \infty G R \) mit \( a_{1}=\frac{12}{1000} \) und \( q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{100}<1 \)

Daher gilt:

\( 0.7 \overline{12} \ldots=\frac{7}{10}+\frac{\frac{12}{1000}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{7}{10}+\frac{12}{1000} \cdot \frac{100}{99}=\frac{7}{10}+\frac{12}{990}=\frac{693+12}{990}=\frac{705}{990}=\frac{141}{198}=\frac{47}{66} \)

AUFGABE:

Stelle folgende rationalen Zahlen als Brüche dar, mit Hilfe der \( \infty G R \)

a. \( 0.2 \overline{43} \)

b. \( 0.87 \overline{52} \)

c. \( 0.9 \overline{3} \)

Comments

Es geht um die Summenregel für unendliche geometrische Reihen (Suchwort z.B. bei Google).

Answer 1

Aloha :)

Ich denke, komplizierter kann man periodische Zahlen nicht mehr erklären. Das ist so grausam, das will man sich überhaupt nicht durchlesen. Es ist eigentlich ganz einfach. Schreibe die Periodenfolge in den Zähler und so viele 9en in den Nenner, wie die Periode lang ist.

$$a)\;\;0,\overline{43}=\frac{43}{99}$$$$\Rightarrow{ }\;\;0,0\overline{43}=\frac{1}{10}\cdot\frac{43}{99}=\frac{43}{990}$$$$\Rightarrow\;\;0,2\overline{43}=\frac{2}{10}+\frac{43}{990}=\frac{198}{990}+\frac{43}{990}=\frac{241}{990}$$

$$b)\;\;0,\overline{52}=\frac{52}{99}$$$$\Rightarrow{ }\;\;0,00\overline{52}=\frac{1}{100}\cdot\frac{52}{99}=\frac{52}{9900}$$$$\Rightarrow\;\;0,87\overline{52}=\frac{87}{100}+\frac{52}{9900}=\frac{8613}{9900}+\frac{52}{9900}=\frac{8665}{9900}=\frac{1733}{1980}$$

$$c)\;\;0,\overline{3}=\frac{3}{9}$$$$\Rightarrow{ }\;\;0,0\overline{3}=\frac{1}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{3}{90}$$$$\Rightarrow\;\;0,9\overline{3}=\frac{9}{10}+\frac{3}{90}=\frac{81}{90}+\frac{3}{90}=\frac{84}{90}=\frac{14}{15}$$

Comments

Danke viel mals. So wie du es gemacht hast finde ich es viel übersichtlicher Es ist einfacher als mir das Beispiel vorgekommen ist.

Answer 2

Hallo,

kennst du die geometrische Reihe? Die Formel dafür lautet:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{0} q^{k}=\frac{a_{0}}{1-q} \)

Ich habe ein paar Zwischenschritte eingefügt, falls du die vorgegebene Lösung verstehen möchtest.

\(0.7 \overline{12}\)

\(=\frac{7}{10}+\frac{12}{10^3}+\frac{12}{10^5}+\frac{12}{10^7}+\ldots\)

\(=\frac{7}{10}+\frac{12}{10^3}(1+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^4}+\ldots)\)

\(=\frac{7}{10}+\frac{12}{10^3}\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty{(\frac{1}{100})^k}\)

\(=\frac{7}{10}+\frac{12}{1000}\cdot \frac{1}{1-0.01}\)

\(=\frac{7}{10}+\frac{12}{1000}\cdot \frac{100}{100-1}\)

\(=\frac{7}{10}+\frac{12}{1000} \cdot \frac{100}{99}\)

\(=\frac{7}{10}+\frac{12}{990}\)

\(=\frac{7\cdot 99}{10}+\frac{12}{990}\)

\(=\frac{693+12}{990}=\frac{705}{990}\underset{5}{=}\frac{141}{198}\underset{3}{=}\frac{47}{66}\)

Einfacher geht es so:

712-7=705 in den Zähler,

zwei 9en (Periodenlänge) und eine 0 (Ziffernanzahl vor der Periode) in den Nenner,

$$ \frac{705}{990} $$

Comments

Danke,

Ja hat geholfen