Aloha :)
Du weißt, dass bereits ein Ereignis B eingetreten ist und möchtest nun wissen, wie groß dann die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergeinis A ist. Dafür gilt nach Bayes:
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$Du musst dir also überlegen, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(A\) und \(B\) gemeinsam eintreten und diese Wahrscheinlichkeit dann durch die die Eintritts-Wahrscheinlichkeit für \(B\) dividieren.
Der Übersichtlichkeit wegen bietet es sich hier an, die Ereignisse \(A\)= "Mensch krank" und \(B\)= "Test positiv" in einer Tabelle zusammenzufassen:
| \(A\): Mensch krank
| \(\overline A\): Mensch gesund |
|
\(B\): Test positiv
| 2,85
| 9,7
| 12,55
|
\(\overline B\): Test negativ
| 0,15
| 87,3
| 87,45
|
| 3
| 97
| 100
|
Die Verbreitung der Krankheit in der Bevölkerung liegt bei 3%, das heißt von 100 Menschen sind 97 gesund und 3 krank. Das liefert uns die letzte Zeile der Tabelle. Der Test erkennt die Krankheit mit 95% Sicherheit. Von den 3 Kranken werden also \(0,95\cdot3=2,85\) erkannt, also ist \(P(A\cap B)=2,85\%\). Von den 3 Kranken werden aber auch \(0,05\cdot3=0,15\) durch den Test nicht erkannt, also ist \(P(A\cap\overline B)=0,15\). Das Fehlen der Krankheit bei Gesunden, zeigt der Test mit 90% Sicherheit an, also ist \(P(\overline A\cap\overline B)=0,9\cdot97=87,3\). In 10% der Fälle irrt sich der Test aber bei Gesunden: \(P(\overline A\cap B)=0,1\cdot97=9,7\).
Mit diesen Vorüberlegungen kannst du die Antworten nun direkt hinschreiben:
$$a)\quad\frac{2,85}{12,55}=22,71\%$$$$b)\quad\frac{87,3}{87,45}=99,83\%$$$$c)\quad\frac{9,7}{12,55}=77,29\%$$
