Ist die Menge U = { (x, y, z)t | (x = y)∨( x= z) } ⊆ R3 ein Untervektorraum?

Question

Aufgabe:

Es liegt der Körper 〈R,+,·〉vor.  Ist U =_df { (x, y, z)^t | (x = y)∨(x = z) } ⊆ R³ Untervektorraum des angegebenen Vektorraumes? Begründe durch einen Beweis.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Vorraussetzungen sind:

1. U ≠ ∅

2.(\( \vec{v} \) , \( \vec{w} \) ∈ U ⇒( \( \vec{v} \) + \( \vec{w} \) ) ∈ U

3. s ∈ K, \( \vec{v} \) ∈ U ⇒ (s ·\( \vec{v} \)) ∈ U

Leider weiß ich aber nicht, wie ich diese hier anwenden soll.

Danke.

Comments

Versuch mal v = (0,0,1)^t und w = (0,1,0)^t, sowie deren Summe.

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. Nach 2. muss die Summe aus \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) auch in U sein. Da aber aber in diesem Beispiel die Summe (0, 1, 1)^t rauskommt, erfüllt sie nicht die Definition (x = y)∨(x = z). Also ist U kein Untervektorraum. Stimmt das?

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Sehe ich auch so.

Answer 1

Hallo

 wie sieht denn ein Vektor aus bei dem x=y und x=z ist also x=y=z? das ist (x,x,x)^T

kannst du es jetzt zeigen. aber auch direkt (x1,x2,x3) mit x1=x3 und x1=x2

 dann gilt r*(x1,x2,x3) wieder rx1=rx2 usw

 die Summe von zweien ist genauso leicht denn mit x1=x2 und y1=y2 gilt wieder x1+y1=x2+y2 usw

Spackos Vorschlag verstehe ich nicht, denn da gilt ja nicht x=y usw.

 Gruß lul

Comments

Heißt (x = y)∨(x = z) nicht, dass x = y oder x = z ist ?

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Dieser Meinung bin ich auch. In diesem Forum gelten allerdings ganz spezielle Regeln. Insbesondere über die Bedeutung der Begriffe und und oder wurde schon viel diskutiert.

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Hallo

ihr habt recht und ich "und" und "oder"  verwechselt, Schande auf mein Haupt! (und das arme Forum kann nichts für meine Dummheit oder Schludrigkeit!)

 also sins  (x,x,x) (x,x,z)  (x,y,x) Repräsentanten , damit gehört die Summe der 2 letzten also (x+x, x+y,x+z)  nicht unbedingt zu der Menge also kein UVR .

die 2 Vektoren von Spacko gehören damit dazu, nicht aber ihre Summe  (da in (0,1,1) weder x=y noch x=z gilt.

Gruß lul