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Warum folgt aus der Ungleíchung

\(e^{-y_0}\gt \sin(x),\;(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\):


\(1\gt\sin(x)e^{y_0}\gt e^{y_0}\)?


Den Schritt \(\sin(x)e^{y_0}\gt e^{y_0}\) habe ich mir irgendwann mal überlegt. Jetzt verstehe ich nicht mehr, wieso ich das damals gemacht habe. So schlau muss man erst mal sein ;). Es hatte wohl etwas mit der Beschränktheit des Sinus' zu tun.

Ich hoffe, mir kann jemand kurz wieder auf die Sprünge helfen.

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e−y0>sin x   I * ey0

1>ey0 sin x.

Der 2. Teil ist komisch:

wenn das stimmen würde: sin(x)ey0>ey0   I :ey0

sin x>1 seltsam!

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Beste Antwort

Hallo hans.zok,

zunächst einmal gilt mit der Def. von negativen Exponenten: $$e^{-y_{0}}=\frac{1}{e^{y_0}}>sin(x) \Longleftrightarrow 1 > sin(x) e^{y0}$$, da die Wertemenge der Exponentialfunktion größer Null ist.

Weil $$-1 \leq sin(x) \leq1$$ gilt, muss gelten:

$$ e^{{y0}}<1$$

Dies ist für $$y_{0}<0$$ erfüllt.

VG Knobler_27

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Schöne Rechnung, alles richtig. Aber das war nicht gefragt in der Aufgabe.

Du hast nur bewiesen, dass ey0<1 und dass sin(x)ey0 <1

Jetzt fehlt noch der Beweis, dass sin(x)ey0>ey0 . Bin gespannt!

Das ist ist die Lösung! Vielen Dank!

Ich hatte es nur versehentlich in eine Ungleichung gepackt und nicht als Folgerung notiert.

Das ist leider nicht die Lösung, denn auch für negative Werte von \(y_0\) gilt \(\sin(x)e^{y_0}\le e^{y_0}\).

Für \(y_0=-0,5\) sieht es so aus:

grün:    \(f\left(x\right)=\sin\ \left(x\right)\cdot e^{y_{0}}\)     

blau:     \(g(x)=e^{y_{0}}\)

Es war gesucht, dass \(y_0\lt0\). Das folgt aus der hier gezeigten Antwort.

@hans

Deine Ungleichungskette ist falsch. So wäre es mit \(y_0<0\) richtig:

\(1\gt e^{y_0}\ge \sin(x)e^{y_0}\)

PS: Die Kette in der Überschrift widerspricht außerdem der Kette in der Aufgabe.

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Aslo $$ \sin(x) e^{y_0} > e^{y_0}  $$ stimmt nicht. Beispiel \( x = 0 \) und \( y_0 = 1 \)

$$  \sin(x) e^{y_0} < 1 $$ stimmt auch nicht, Beispiel \( x = \frac{\pi}{2} \) und \( y_0 = 1 \)

$$ e^{-y_0} > \sin(x)  $$ gilt auch nicht, Beispiel \( x = \frac{\pi}{2} \) und \( y_0 = 0 \)

Avatar von 39 k

Hm. Allerdings gab es dafür volle Punktzahl und auch beim Vorrechnen wurde nichts beanstandet. Das Ziel ist jedenfalls:

\(y_{0}\lt0\).

Wie komme ich denn sonst dahin?

Was heisst Ziel \( y_0 < 0 \). Ist das eine Vorgabe oder soll nachgewiesen werden, dass die Ungleichungen nur unter der Bedingung gelten?

Da sei die richtige Lösung  Also muss man die Ungleichung wohl dahin bringen können.

@ ullim: die ersten beiden Zeilen sind ok.

Danach hast du Voraussetzung und Folgerung nicht getrennt.

Wenn ...  (1. Zeile),  dann... (2. Zeile)

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Voraussetzung: e−y0>sin x 
e−y0>sin x  I * ey0

⇒ 1>ey0 sin x Damit ist der linke Teil der Ungleichungskette bewiesen.

2. Teil:

Man muss noch folgern, dass sin(x)ey0>ey0
Das kann aber nicht gehen. Denn wenn die Aussage  sin(x)ey0>ey0  richtig wäre:
sin(x)ey0>ey0  I :ey0
dann wäre sin x>1

Also ist die Aussage falsch.

@hans.zok  y0 <0 ändert auch nichts, denn ey0 > 0 und dadurch darf man die Ungleichung dividieren, ohne Ungleichheitszeichendrehung.

Avatar von 4,3 k

Naja. Aber die Lösung für die Ungleichung muss ja y_0<0 sein. Sonst hätte es bei der Korrektur ja auffallen müssen :P

Heutzutage muss nix auffallen!

Das soll rauskommen, das soll bewiesen werden:

sin(x)ey0>ey0

Jetzt trau dich mal selber ohne Hiwi-Erlaubnis durch ey0 zu teilen! Was kommt raus?

Und was kommt raus, wenn y0<0?

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