Warum gilt diese Ungleichungskette: 1 < e^(y_0) * sin(x) < e^(y_0)?

Question

Warum folgt aus der Ungleíchung

\(e^{-y_0}\gt \sin(x),\;(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\):

\(1\gt\sin(x)e^{y_0}\gt e^{y_0}\)?

Den Schritt \(\sin(x)e^{y_0}\gt e^{y_0}\) habe ich mir irgendwann mal überlegt. Jetzt verstehe ich nicht mehr, wieso ich das damals gemacht habe. So schlau muss man erst mal sein ;). Es hatte wohl etwas mit der Beschränktheit des Sinus' zu tun.

Ich hoffe, mir kann jemand kurz wieder auf die Sprünge helfen.

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e^−y0>sin x   I * e^y0

1>e^y0 sin x.

Der 2. Teil ist komisch:

wenn das stimmen würde: sin(x)e^y0>e^y0   I :e^y0

sin x>1 seltsam!

Answer 1

Hallo hans.zok,

zunächst einmal gilt mit der Def. von negativen Exponenten: $$e^{-y_{0}}=\frac{1}{e^{y_0}}>sin(x) \Longleftrightarrow 1 > sin(x) e^{y0}$$, da die Wertemenge der Exponentialfunktion größer Null ist.

Weil $$-1 \leq sin(x) \leq1$$ gilt, muss gelten:

$$ e^{{y0}}<1$$

Dies ist für $$y_{0}<0$$ erfüllt.

VG Knobler_27

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Schöne Rechnung, alles richtig. Aber das war nicht gefragt in der Aufgabe.

Du hast nur bewiesen, dass e^y0<1 und dass sin(x)e^y0 <1

Jetzt fehlt noch der Beweis, dass sin(x)e^y0>e^y0 . Bin gespannt!

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Das ist ist die Lösung! Vielen Dank!

Ich hatte es nur versehentlich in eine Ungleichung gepackt und nicht als Folgerung notiert.

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Das ist leider nicht die Lösung, denn auch für negative Werte von \(y_0\) gilt \(\sin(x)e^{y_0}\le e^{y_0}\).

Für \(y_0=-0,5\) sieht es so aus:

https://www.desmos.com/calculator/ufmv1tj48i

grün:    \(f\left(x\right)=\sin\ \left(x\right)\cdot e^{y_{0}}\)     

blau:     \(g(x)=e^{y_{0}}\)

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Es war gesucht, dass \(y_0\lt0\). Das folgt aus der hier gezeigten Antwort.

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@hans

Deine Ungleichungskette ist falsch. So wäre es mit \(y_0<0\) richtig:

\(1\gt e^{y_0}\ge \sin(x)e^{y_0}\)

PS: Die Kette in der Überschrift widerspricht außerdem der Kette in der Aufgabe.

Answer 2

Aslo $$ \sin(x) e^{y_0} > e^{y_0}  $$ stimmt nicht. Beispiel \( x = 0 \) und \( y_0 = 1 \)

$$  \sin(x) e^{y_0} < 1 $$ stimmt auch nicht, Beispiel \( x = \frac{\pi}{2} \) und \( y_0 = 1 \)

$$ e^{-y_0} > \sin(x)  $$ gilt auch nicht, Beispiel \( x = \frac{\pi}{2} \) und \( y_0 = 0 \)

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Hm. Allerdings gab es dafür volle Punktzahl und auch beim Vorrechnen wurde nichts beanstandet. Das Ziel ist jedenfalls:

\(y_{0}\lt0\).

Wie komme ich denn sonst dahin?

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Was heisst Ziel \( y_0 < 0 \). Ist das eine Vorgabe oder soll nachgewiesen werden, dass die Ungleichungen nur unter der Bedingung gelten?

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Da sei die richtige Lösung  Also muss man die Ungleichung wohl dahin bringen können.

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@ ullim: die ersten beiden Zeilen sind ok.

Danach hast du Voraussetzung und Folgerung nicht getrennt.

Wenn ...  (1. Zeile),  dann... (2. Zeile)

Answer 3

Voraussetzung: e^−y0>sin x 
e^−y0>sin x  I * e^y0

⇒ 1>e^y0 sin x Damit ist der linke Teil der Ungleichungskette bewiesen.

2. Teil:

Man muss noch folgern, dass sin(x)e^y0>e^y0
Das kann aber nicht gehen. Denn wenn die Aussage  sin(x)e^y0>e^y0  richtig wäre:
sin(x)e^y0>e^y0  I :e^y0
dann wäre sin x>1

Also ist die Aussage falsch.

@hans.zok  y0 <0 ändert auch nichts, denn e^y0 > 0 und dadurch darf man die Ungleichung dividieren, ohne Ungleichheitszeichendrehung.

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Naja. Aber die Lösung für die Ungleichung muss ja y_0<0 sein. Sonst hätte es bei der Korrektur ja auffallen müssen :P

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Heutzutage muss nix auffallen!

Das soll rauskommen, das soll bewiesen werden:

sin(x)e^y0>e^y0

Jetzt trau dich mal selber ohne Hiwi-Erlaubnis durch e^y0 zu teilen! Was kommt raus?

Und was kommt raus, wenn y0<0?