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Liebe Mathematiker,

ich möchte die Weihnachtszeit nutzen, um mich auf die Klausuren im Februar vorzubereiten. Vielleicht könnt ihr mir ein bisschen was helfen und erklären?

Aktuell geht es um den Abstand von 2 Geraden im dreidimensionalen Raum.


Beispiel 1:

g: (-5,-7,0) + t (3,0,1)

h: (12,0,1) + s (3,2,2)

Beispiel 2:

g: (3,-1,2) + t (2,4,3)

h: (-1,5,10) + s (-4,4,6)

Beispiel 3:

g: (0,7,6) + t (1,0,0)

h: (2,-2,19) + s (0,4,-3)


Wie berechnet man den Abstand am besten? Irgendwie muss eine Hilfsebene aus g und dem Richtungsvektor von h konstruiert werden. Und wie geht es dann weiter? Geht es auch ohne Hilfsebene oder schneller?


Iria

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g: (-5,-7,0) + t (3,0,1)


h: (12,0,1) + s (3,2,2)

usw.

Achtung: Geradengleichungen sollten ein Gleichheitszeichen enthalten. Sonst sind es keine "Gleichungen". 


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Aloha :)

Bei der Abstandsberechnung von 2 Geraden im \(\mathbb{R}^3\) mit der Form:$$g:\,\vec a_1+\lambda\,\vec v_1\quad;\quad h:\;\vec a_2+\mu\,\vec v_2$$sind 3 Vektoren maßgeblich. Die beiden Richtungsvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) der Geraden und der Differenzvektor \(\vec r:=\vec a_2-\vec a_1\) der beiden Aufpunkte.

Die Idee hinter der Abstandsberechnung:

1) Berechne das Volumen des Spates, der druch die 3 Vektoren \(\vec v_1,\vec v_2,\vec r\) aufgespannt wird. Das funktioniert z.B. mit dem Spat-Produkt oder mit der Determinante.

2) Dividiere dieses Volumen durch die Fläche, die von den beiden Richtungsvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) aufgespannt wird. Diese Fläche ermittelst du über den Betrag des Vektorproduktes \(\vec v_1\times\vec v_2\). Volumen durch Fläche gibt Höhe bzw. hier den gesuchten Abstand.

Zusammengefasst kannst du dir für den Abstand \(d\) also merken:

$$d=\frac{\text{Spat-Volumen}}{\text{Spat-Grundfläche}}=\frac{\left|\text{det}(\vec r,\vec v_1\vec v_2)\right|}{\left|\vec v_1\times \vec v_2\right|}=\frac{\left|\vec r\cdot\left(\vec v_1\times\vec v_2\right)\right|}{\left|\vec v_1\times \vec v_2\right|}$$Wenn das Spat-Volumen, also der Zähler \(=0\) ist, liegen die 3 Vektoren \(\vec r,\vec v_1,\vec v_2\) in einer Ebene, sodass sich die Geraden schneiden müssen (oder identisch sind).

Ich persönlich finde den Weg über das Spat-Produkt sehr effizient, weil du das Vektor-Produkt \(\vec v_1\times\vec v_2\) sowieso für den Nenner ausrechnen musst. Für deine konkreten Beispiele erhalten wir:

$$\vec v_1\times\vec v_2=\left(\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}3\\2\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\-3\\6\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec r=\left(\begin{array}{c}17\\7\\1\end{array}\right)\;\;;\;\;d=\frac{|-49|}{\sqrt{49}}=7$$

$$\vec v_1\times\vec v_2=\left(\begin{array}{c}2\\4\\3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-4\\4\\6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\-24\\24\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec r=\left(\begin{array}{c}-4\\6\\8\end{array}\right)\;\;;\;\;d=\frac{|0|}{\sqrt{1296}}=0$$

$$\vec v_1\times\vec v_2=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\4\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\3\\4\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec r=\left(\begin{array}{c}2\\-9\\13\end{array}\right)\;\;;\;\;d=\frac{|25|}{\sqrt{25}}=5$$

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Vielen Dank für die sehr anschauliche Erklärung.

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Mache aus zwei Geraden eine Hilfsebene und einen Punkt indem du einen Richtungsvektor umhängst. Wandel jetzt die Ebene am besten in die Koordinatenform und mache daraus die Abstandsformel. Dann bestimmst du den Abstand des Punktes von der Hilfsebene.

1)

E = [-5, -7, 0] + r·[3, 0, 1] + s·[3, 2, 2] ; P = [12, 0, 1]

n = [3, 0, 1] ⨯ [3, 2, 2] = [-2, -3, 6] = -[2, 3, -6]

E = 2·x + 3·y - 6·z = -31

d = |2·x + 3·y - 6·z + 31| / √(2^2 + 3^2 + 6^2)

Nun Punkt einsetzen

d = |2·(12) + 3·(0) - 6·(1) + 31| / √(2^2 + 3^2 + 6^2) = 7

Der Abstand beträgt 7 LE.

Avatar von 487 k 🚀

Kann es sein, das die Ebene \( 2x+3y-6z=-31 \) lautet?

Kann sein. Hatte ich bereits vor deinem Kommentar berichtigt. Hatte gerade Angefangen mir dafür mal ein Excel-Sheet zu machen.

+1 Daumen

Bei Geraden der Form

$$ g = \vec a + t \vec b  $$ und $$ h = \vec c + s \vec d  $$ berechnet sich der Abstand nach der Formel

$$ d = \left| \frac{ \left( \vec a - \vec c \right) \vec n }{ \left| \vec n \right| } \right| $$

Im Falle von Beispiel 1 ergibt sich ein Abstand von \( d = 7 \)

Avatar von 39 k

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