Abstand bestimmen zu Tiefpunkt und Geraden

Question

Gegeben ist die Schar der in \( \mathbb{R} \) definierten Funktionen \( f_{k}: x \mapsto e^{k x}-x-1 \) mit \( k \in \mathbb{R} \).
Für positive Werte von \( k \) hat \( G_{k} \) den Tiefpunkt \( T_{k}\left(-\frac{\text { lnk }}{k} \left\lvert\, \frac{\text { lnk }}{k}-1+\frac{1}{k}\right.\right) \).

a) Ermitteln Sie den Abstand von \( T_{k} \) zur Gerade mit der Gleichung \( y=-x-1 \).

Answer 1

Aloha :)

Wir berechnen zuerst das Quadrat \(a^2(x)\) des Abstandes vom Punkt \(T_k\) zu einem beliebigen Punkt \((x;y)\) auf der Geraden:$$a^2(x)=\left\|\binom{T_{k,x}}{T_{k,y}}-\binom{x}{y}\right\|^2=\left\|\binom{-\frac{\ln k}{k}}{\frac{\ln k}{k}-1+\frac1k}-\binom{x}{-x-1}\right\|^2$$$$\phantom{a^2(x)}=\left(-\frac{\ln k}{k}-x\right)^2+\left(\frac{\ln k}{k}-1+\frac1k-(-x-1)\right)^2$$$$\phantom{a^2(x)}=\left(x+\frac{\ln k}{k}\right)^2+\left(x+\frac{1+\ln k}{k}\right)^2$$

Das Minimum dieses Abstands-Quadrates ist gesicht:$$0\stackrel!=2\left(x_0+\frac{\ln k}{k}\right)+2\left(x_0+\frac{1+\ln k}{k}\right)=4x_0+\frac{2+4\ln k}{k}\implies$$$$x_0=-\frac{1+2\ln k}{2k}$$

Dieses \(x_0\) in \(a^2(x)\) eingesetzt, liefert den gesuchten minimalen Abstand:$$a^2(x_0)=\frac{1}{2k^2}\quad\implies\quad a_{\text{min}}=\frac{1}{k\sqrt2}$$

Comments

Hallo,

ich bin etwas verwirrt was das Quadrat angeht, könntest du mir das genauer erklären?

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Normalerweise ist ja der Abstand zwischen zwei Vektoren \(\vec x\) und \(\vec y\)$$a=\sqrt{(\vec y-\vec x)^2}=\sqrt{\binom{y_1-x_1}{y_2-x_2}^2}=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}$$

Wir haben oben nicht mit dem Abstand \(a\) gerechnet, sondern mit dem Quadrat des Abstandes \(a^2\), um uns die Wurzel zu ersparen:$$a^2=(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2$$Dadurch war das Ableiten viel einfacher.

Am Ende der Rechnung erhalten wir dann den minimalen quadratischen Absiand \(a^2\) und brauchen dann nur am Ende die Wurzel zu ziehen, um den gesuchten Abstand zu erhalten.

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Achso okay, vielen dank für die Erklärung.

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Den Abstand eines Punktes von einer Geraden kann mit der Hesseschen Normalform berechnet werden. \(y=-x-1\) in dieser Form ist$$g:\quad \left<\vec{x},\, \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\right>  +\frac{1}{\sqrt{2}}=0$$Und der (gerichtete) Abstand \(d\) des Punktes \(T_k\) von \(g\) ist$$d = \left< T_k,\, \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \right> + \frac{1}{\sqrt{2}}   = \frac{1}{k\sqrt{2}}$$