Aloha :)
Bei der Abstandsberechnung von 2 Geraden im \(\mathbb{R}^3\) mit der Form:$$g:\,\vec a_1+\lambda\,\vec v_1\quad;\quad h:\;\vec a_2+\mu\,\vec v_2$$sind 3 Vektoren maßgeblich. Die beiden Richtungsvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) der Geraden und der Differenzvektor \(\vec r:=\vec a_2-\vec a_1\) der beiden Aufpunkte.
Die Idee hinter der Abstandsberechnung:
1) Berechne das Volumen des Spates, der druch die 3 Vektoren \(\vec v_1,\vec v_2,\vec r\) aufgespannt wird. Das funktioniert z.B. mit dem Spat-Produkt oder mit der Determinante.
2) Dividiere dieses Volumen durch die Fläche, die von den beiden Richtungsvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) aufgespannt wird. Diese Fläche ermittelst du über den Betrag des Vektorproduktes \(\vec v_1\times\vec v_2\). Volumen durch Fläche gibt Höhe bzw. hier den gesuchten Abstand.
Zusammengefasst kannst du dir für den Abstand \(d\) also merken:
$$d=\frac{\text{Spat-Volumen}}{\text{Spat-Grundfläche}}=\frac{\left|\text{det}(\vec r,\vec v_1\vec v_2)\right|}{\left|\vec v_1\times \vec v_2\right|}=\frac{\left|\vec r\cdot\left(\vec v_1\times\vec v_2\right)\right|}{\left|\vec v_1\times \vec v_2\right|}$$Wenn das Spat-Volumen, also der Zähler \(=0\) ist, liegen die 3 Vektoren \(\vec r,\vec v_1,\vec v_2\) in einer Ebene, sodass sich die Geraden schneiden müssen (oder identisch sind).
Ich persönlich finde den Weg über das Spat-Produkt sehr effizient, weil du das Vektor-Produkt \(\vec v_1\times\vec v_2\) sowieso für den Nenner ausrechnen musst. Für deine konkreten Beispiele erhalten wir:
$$\vec v_1\times\vec v_2=\left(\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}3\\2\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\-3\\6\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec r=\left(\begin{array}{c}17\\7\\1\end{array}\right)\;\;;\;\;d=\frac{|-49|}{\sqrt{49}}=7$$
$$\vec v_1\times\vec v_2=\left(\begin{array}{c}2\\4\\3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-4\\4\\6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\-24\\24\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec r=\left(\begin{array}{c}-4\\6\\8\end{array}\right)\;\;;\;\;d=\frac{|0|}{\sqrt{1296}}=0$$
$$\vec v_1\times\vec v_2=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\4\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\3\\4\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec r=\left(\begin{array}{c}2\\-9\\13\end{array}\right)\;\;;\;\;d=\frac{|25|}{\sqrt{25}}=5$$
