Bahnbilanzformel zu Untergruppen, Stabilatoren usw. zeigen

Question

Aufgabe:

Sei $G<\operatorname{Sym}_{n}$ eine Untergruppe, $g \in G$ und $k \in\{1, \ldots, n\} .$ Dann heißt
$$\operatorname{Stab}_{G}(k):=\{g \in G | g(k)=k\}$$
der Stabilisator von $k$ und $\operatorname{Bahn}_{G}(k):=\{g(k) | g \in G\}$ die $B a h n$ von $k .$ Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) $\operatorname{Stab}_{G}(k)$ ist eine Untergruppe von $G$
b) Es gilt $\left|G / \operatorname{stab}_{G}(k)\right|=\left|\operatorname{Bahn}_{G}(k)\right|$
c) Zeige $\left|\operatorname{Sym}_{n}\right|=n !$ mit Hilfe von b) und vollständiger Induktion.

 

Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst. Jedoch habe ich bei der b) keine Idee, wie ich dies beweisen soll. Daher kann ich die c) auch nicht bearbeiten, da sie auf der vorherigen Aufgabe aufbaut.

Ich hoffe, dass mir jemand einen möglichen Lösungsweg zeigt, so dass ich die Aufgabe nachvollziehen kann.

Ergänzung: A < B kann bei uns auch bedeuten, dass A ein Untervektorraum von B ist.

Comments

1. Kontrolliere bitte die Fragestellung. Schon das erste "Kleinerzeichen" macht wenig Sinn. Oder?

2. Erkläre die gewählte Überschrift und die Tags.

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Was macht daran denn kein Sinn? Das bedeutet einfach, dass G eine Untergruppe von Sym_n ist.

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Mit "Kleinerzeichen" werden reelle Zahlen miteinander verglichen.

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So wird das an unserer Uni bzw. von unserem Prof allerdings gehandhabt. Ich finde es auch sehr verwirrend. A < B kann bei uns auch bedeuten, dass A ein Untervektorraum von B ist.

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Aber bei deiner Frage oben gehört wenigstens das Wort (echte?) Untergruppe mit zur Fragestellung (?) .

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Mit "Kleinerzeichen" werden reelle Zahlen miteinander verglichen.

Das kleiner-Zeichen (auch das ">") wird in verschiedenen Zusammenhängen noch für vieles andere gebraucht; u.a. auch als Zeichen für eine Untergruppe (dort auch möglich das Zeichen $triangleleft$).

Deine Argumentation ist genauso dumm, wie wenn Du behaupten würdest, das "+"-Zeichen sei nur für die Addition reeller Zahlen erlaubt.

gehört wenigstens das Wort (echte?) ...

Warum? Weil man nicht begreifen will, dass $M \subset M$ gilt, oder auch $G \triangleleft G$ gilt?

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@mitgast:

1. Definitionen sind anzugeben, wenn Zeichen nicht im üblichen Sinn verwendet werden.

2. 2 < 5 wird gelesen als "zwei ist kleiner als fünf". Dein 5 > 2 wird gelesen als "fünf ist grösser als 2".

3. Bei deiner Expertise wäre es ein Klacks für dich eine Antwort zu schreiben. Tu das ruhig.

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Das ist ein üblicher Sinn (den Du scheinbar nur nicht kennst).

(Genau genommen ist $\triangleleft$ noch üblicher und ich wurde dieses auch immer bevorzugen.)

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Das Spielt doch alles keine wichtige Rolle.. Kann man Fragen auch schließen? Es hat sich schon erledigt.

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Habe nun diesen Kommentar in eine Antwort umgewandelt. So erscheint die Frage wenigstens nicht mehr bei den "offenen Fragen". Ganz weg bringe ich die Frage nicht.

Am besten erklärst du in ein paar Worten, wie sich die Frage erledigt hat.

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bitte die Frage nicht löschen!  Ich habe dieselbe Frage auch und habe schon mit der Teilaufgabe a ein Problem.  Hallo DonaldDuck, du hast ganz oben geschrieben, dass du die Aufgabe gelöst hast.  Darf ich die Lösung mal sehen?  Würde mich brennend interessieren. 

Kann sonst jemand weiterhelfen bei der a? 

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Zur obigen Diskussion um U < G und U ⊂ G:  Wenn man eine Gruppe (G, +) hat, dann bedeutet U ⊂ G, dass U eine Teilmenge von G ist.  U < G bedeutet üblicherweise darüber hinaus, dass (U, +) eine Untergruppe von (G, +) ist.

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Ich habe die Teilaufgabe a selber gelöst; siehe eigene Antwort.

Answer 1

ich habe Teilaufgabe a gelöst.  Hier der Ansatz; die Verallgemeinerung ist dann kein Problem mehr.

Text erkannt:

$\{(m, 1)$
7. $\quad$ zergess $\quad$ Stab $(k)<6$
7 ersen an Beirriel. Peweil
$G<s_{y m_{1}}$
$S_{Y m_{1}}=\left(\left\{\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 7 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right)_{1}\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)_{1}\right.\right.$
3.1
$G-\left(\left\{\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)\right.$
$\left.\left.\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)\right\}_{1} \cdot 0\right)$
Probe 1,6 abjeralaries?
$\sin 6(1)<G$
$5+a b+(1)=\{9 \in 9 | 8(1)=13$

 

Text erkannt:

$\frac{\sin 2}{\operatorname{stan}_{6}(x)}=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right)\right\}$
Definitim vou unterguarre $\left\{\begin{array}{l}\forall x_{1}, \gamma \in \sin b_{6}(x)=x_{0} y \epsilon \sin b_{6}(x)(5) \\ e_{5} \in \sin b_{6}(x): \quad i_{0} \\ \sigma x \epsilon_{1} \sin b_{4}(1), \quad x^{-1} \in \sin 6_{6}(1) \quad(\pi)\end{array}\right.$
$(I): \quad *, y \in \sin 6(x) \rightarrow x(1) \cdot 1 \quad \cdot \quad y(1)=1$
$\Rightarrow \quad x(y(1))=1 \quad \Rightarrow \quad x \cdot y \in \sin _{10}(y)$
$(\underline{I}): \quad$ id $\quad \epsilon \quad \int d_{a b}(x) \quad$ mil
$i d(1)=1$
id $\epsilon \quad f_{y_{2}}, \quad \Rightarrow \quad$ id $\quad \in \quad G$
well $G<J_{i m}$
$(\mathbb{I I})$
$x \in S+a b_{G}(1) \Rightarrow x(1)=1$
$\Rightarrow x^{-1}(\eta)=1 \quad \Rightarrow \quad x^{-1} \in \quad \sin ^{b}(1)$