Aufgabe:
Zeige, dass für alle $$n\in \mathbb{N}$$ gilt:
$$\sum\limits_{k=1}^n \frac{n+1}{k^2+k}=n$$
Problem/Ansatz:
Ich habe den Beweis bereits direkt mithilfe einer Teleskopsumme geführt. Nun wollte ich den Beweis noch einmal per Induktion vollziehen. Es ergibt sich im induktionsschluss folgendes Problem:
$$\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{n+1}{k^2+k}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{n+1}{k^2+k}+\frac{n+1}{(n+1)^2+n+1}=n+\frac{1}{n+2}\neq n+1$$
Was mache ich falsch? Stehe gerade auf dem Schlauch
