Hallo. Wie löse ich diese Aufgabe?
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Aufgabe \( 5 . \) Eine Erinnerung an den Begriff der Umkehrfunktion finden Sie weiter unten. Geben Sie an, ob die folgenden Funktionen eine Umkehrfunktion haben. Wenn ja, geben Sie Definitions-und Zielmenge und einen Funktionsterm der Umkehrfunktion an und weisen Sie anhand der Definition nach, dass es sich um eine Umkehrfunktion handelt (das genügt), wenn nein, erläutern Sie, warum es keine Umkehrfunktion geben kann.
$$ \text { a) } f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{2 x}{x+1} $$
b) \( f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \longrightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\}, \quad f(x)=\frac{1}{x-1} \)
Zur Erinnerung:
Definition. Sei \( f: A \longrightarrow B \) eine Funktion, sei \( g: B \longrightarrow A \) eine weitere Funktion. Dann heißt \( g \) Umkehrfunktion von \( f, \) wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
\( \bullet \) Für alle \( s \in A \) ist \( g(f(s))=s \)
\( \bullet \) Für alle \( t \in B \) ist \( f(g(t))=t \)
Tatsächlich kann es eine Umkehrfunktion \( g: B \longrightarrow A \) (die oft auch \( f^{-1} \) genannt
Text erkannt:
a) \( f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{2 x}{x+1} \)
$$ \text { b) } f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \longrightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\}, \quad f(x)=\frac{1}{x-1} $$
Zur Erinnerung:
Definition. Sei \( f: A \longrightarrow B \) eine Funktion, sei \( g: B \longrightarrow A \) eine weitere Funktion. Dann heißt \( g \) Umkehrfunktion von \( f, \) wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
\( \bullet \) Für alle \( s \in A \) ist \( g(f(s))=s \)
\( \bullet \) Für alle \( t \in B \) ist \( f(g(t))=t \)
Tatsichlich kann es eine Umkehrfunktion \( g: B \longrightarrow A \) (die oft auch \( f^{-1} \) genamyt wird) zu \( f_{i} A \longrightarrow B \) nur dann geben, wenn \( f \) bijektiv ist, Th einmal überprüft haben. In diesem Fall gilt für \( s \in A \) und \( \mathcal{F} \in B \)
$$ f(s)=t \Leftrightarrow s=g(t) $$
