Betrag auflösen, Definitionsmenge und Zielmenge der Umkehrfunktion angeben. f: [-3,1] → [-4,4], f(x) = Ι1+x Ι - 2x-4

Question

Wir betrachten die Funktion

 

                     f: [-3,1] → [-4,4],    f(x) = Ι1+x Ι - 2x-4

 

a) Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion, indem Sie den Betrag auflösen.

b) Die Funktion f hat eine Umkehrfunktion g (das brauchen Sie nicht zu begründen).Geben Sie die Definitionsmenge und die Zielmenge der Umkehrfunktion g an, und skizzieren Sie den Graphen von g.

Answer 1

hallo

 

a)

y = |1+x| - 2x - 4

fallunterscheidung

1)
1+x < 0 daraus folgt x < -1 (diese angabe benötigen wir, um den graphen zeichnen zu können)
h(x) = -1-x -2x -4
h(x) = -3x - 5

2)
1+x >= 0 daraus folgt: x >= -1 (diese angabe benötigen wir, um den graphen zeichnen zu können)
k(x) = 1+x -2x -4
k(x) = -x - 3

die funktion f(x) setzt sich also aus den beiden
funktionen h(x) und k(x) zusammen.
für h(x) verläuft der definitionsbereich von -3 <= x < -1, der
wertebereich geht von [4,-2)
für k(x) verläuft der definitionsbereich  von -1 <= x <= 1, der
wertebereich von [-2,-4]
mit diesen angaben lässt sich f(x) = h(x) + k(x) zeichnen.

b)

f(x) wird jetzt an der winkelhalbierenden der x- und y-achse gespiegelt.
damit erhalten wir die umkehrfunktion g(x).
der definitionsbereich von g(x) ist der wertebereich von f(x) und
der wertebereich ist der definitionsbereich von f(x)
g: [-4,4] → [-3,1]