Sinus und Cosinus mit Exponentialfunktionen darstellen?

Question

Wieso sind diese Ausdrücke äquivalent?

Hi, ich grübele jetzt schon etwas länger über dieses Gleichheitszeichen nach...

$$cos(z)+isin(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})+\frac{1}{2}(e^{iz}-e^{-iz})$$

Wisst ihr vielleicht warum diese beiden Ausdrücke äquivalent sind?
VG:D

Answer 1

Einerseits kannst du die rechte Seite ausmultiplizieren und erhältst \(e^{iz}\).

Andererseits gibt es die Reihenentwicklungen für Sinus-, Cosinus- und Exponentialfunktion, die zu der genannten Äquivalenz führen.

 

Answer 2

Sicher, dass da nicht noch irgendwo ein Faktor i nötig ist?

EDIT: Habe nachgeschaut. Das i kommt automatisch mit, wenn man https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Beziehung_zur_Exponentialfunktion einsetzt.

Text erkannt:

Diese und die vorangegangenen Gleichungen
$$ \sin x=\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right) $$
und
$$ \cos x=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right) $$

 

Comments

@Lu:

Wenn du sin x mit i multiplizierst, kommt doch Gurkes zweiter Summand raus.

---

Richtig. Das habe ich mit meinem EDIT ja bereits erklärt. Oder?

---

@Lu:

Ok, das hatte ich überlesen.