Wahrscheinlichkeit über Verteilungsfunktion berechnen

Question

Aufgabe:

Der Zufallsvektor \( (X, Y) \) besitze die Dichte
$$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} {\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)} & {, \text { falls } 0 \leq x, y \leq 1} \\ {0} & {, \text { sonst }} \end{array}\right. $$

Folgende Wahrscheinlichkeiten möchte ich berechnen:

a) P(X ≥ 0)

b) P(X ≥ 1/4 , Y ≤ 1/2)

Problem/Ansatz:

Für die a) habe ich die Verteilungsfunktion von X aufgestellt und komme dabei auf:

F_x(t) = (t² + t) / 2

Nun hätte ich die bei der a) die 0 als t eingesetzt um zu schauen was raus kommt als Wahrscheinlichkeit. Jedoch gilt die Verteilungsfunktion soweit ich weiß nur für P(X ≤ x) . Daher ist meine Frage wie ich bei der a) umformen kann um die Zahl einzusetzen.

Für die b) hätte ich als gemeinsame Verteilungsfunktion folgendes:

F(x,y) = (x²/2 + x/2) * (y²/2 +y/2)

Hier aber allerdings das selbe Problem, dass ich nicht genau weiß wie ich umformen soll um die Zahlen einfach einsetzen zu können.

Würde mich über Hilfe freuen und gern wissen, ob mein Ansatz und der Lösungsweg bisher stimmen.

Answer 1

Aloha :)

Die Verteilungsfunktion brauchst du hier nicht. Es reicht, die passenden Integrale über die Dichtefunktion zu bestimmen:$$P(X\ge0)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^1dy\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)=\int\limits_0^1\left(x+\frac{1}{2}\right)dx\int\limits_0^1\left(y+\frac{1}{2}\right)dy$$$$\quad=\left(\int\limits_0^1\left(x+\frac{1}{2}\right)dx\right)^2=\left(\left[\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}\right]_0^1\right)^2=1^2=1$$

$$P\left(X\ge\frac{1}{4}\,,\,Y\le\frac{1}{2}\right)=\int\limits_{1/4}^1\left(x+\frac{1}{2}\right)dx\int\limits_0^{1/2}\left(y+\frac{1}{2}\right)dy$$$$\quad=\left[\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}\right]_{1/4}^1\cdot\left[\frac{y^2}{2}+\frac{y}{2}\right]_0^{1/2}=\left(1-\frac{5}{32}\right)\cdot\left(\frac{3}{8}-0\right)=\frac{27}{32}\cdot\frac{3}{8}=\frac{81}{256}$$