Integralrechnung - Fläche

Question

Aufgabe:

Siehe Bild

Problem/Ansatz:

Mein Lehrer hat mir diese Aufgaben gegeben und ich muss sie nach den Weihnachtsferien abgeben. Leider war ich in den Stunden krank, in denen dieses Thema begonnen wurde. Kann mir einer mit den Aufgaben helfen oder zumindest Videos schicken die diese Aufgaben erklären. Ich habe absolut keine Ahnung wie man das berechnen soll.

Texterkannt:

1. Entwickeln und formulieren Sie eine Berechnungsmethode zur Bestimmung des Inhalts der grauen Fläche.

2. Verschiebt man einen streifen mit fester Breite parallel zur Symmetrieachse einer Parabel, schneidet dieser Streifen die Parabel in zwei Punkten P und Q.  Diese beiden Punkte legen ein Parabelsegment fest (siehe Abbildung).- Beschreiben Sie die Form des Segments, wenn der Streifen von links nach rechts wandert.In welcher Position des Streifens vermuten Sie den maximalen Flächeninhalt?In der Abbildung sind zur Normalparabel (Graph zu f(x) = x²) drei Parabelsegmente skizziert .Die zugehörigen Sekanten haben die Gleichungen g1 (x) = 4, g2 (x) = 2 * x  3 und g3 (x) = 4 * x- Zeigen Sie, dass die Segmente zu den Streifen gleicher Breite gehören und ermitteln Sie jeweils den zugehörigen Flächeninhalt.- Zeigen Sie allgemein, dass für einen Streifen von x1 bis x1  4 der Flächeninhalt des Parabelsegments immer gleich groß ist.- Welchen Flächeninhalt hat das Parabelsegment für einen beliebigen Streifen der Breite a (a Element von positiven reellen Zahlen) ?

Answer 1

Drei Fragen um deinen Kenntnisstand zu ermitteln:

1. Könntest du denn z.B. die 3 Funktionen die in Aufgabe 1 gegeben sind als Funktionsterm notieren?

2. Was weißt du denn über die Integralrechnung generell?

3. Hier geht des speziell um Flächen die in einem Intervall von 2 Funktionen begrenz werden. Das werdet ihr vermutlich in der letzten Stunde gemacht haben. Und das wirst du dann sicher noch nicht wissen.

Funktionen

f(x) = 2/3·x + 4/3

g(x) = 3 - x

h(x) = 1/4·x^2

Berechnung der Fläche

A1 = ∫ (1 bis 2) ((2/3·x + 4/3) - (3 - x)) dx = 5/6

A2 = ∫ (2 bis 4) ((2/3·x + 4/3) - (1/4·x^2)) dx = 2

A = 5/6 + 2 = 17/6 = 2.833

Comments

Hey

1. Das müsste ich schaffen.

2. Wir haben Ober- /Untersummen, lineare Substitution, Hauptsatz der Integralrechnung und Integralbestimmung besprochen.

3. Richtig. Ich habe gefehlt und nichts mitbekommen. Ich habe absolut kein Wissen zu diesem Thema.

---

3. Das ist nicht so wild. Wird eine Fläche im Intervall [a; b] von oben und unten durch die Funktionen f(x) und g(x) begrenzt, so lässt sich die Fläche über den Betrag des Integrals

∫ (a bis b) (f(x) - g(x)) dx 

berechnen.

Die Funktionen habe ich dir oben schon zur Kontrolle aufgestellt.

Ein Teil der Fläche wird im Intervall [1; 2] von den Funktionen f(x) und g(x) begrenzt.

Ein anderer Teil der Fläche wird im Intervall [2; 4] von den Funktionen f(x) und h(x) begrenzt.

Damit habe ich dann die beiden Flächen als bestimmte Integrale Aufgestellt und berechnet.

Schau mal ob du das so verstehst.

Du könntest auch nochmal in deinem Schulbuch das Thema nachlesen.

---

Einfach als Nachfrage. Ich ziehe in Aufg. 1 also das Integral von g(x) und h(x) von f(x) für eben diesen grauen Bereich ab. Soll ich meine anschließende Lösung hier dann reinposten? Oder hast du keine Lust das zu überprüfen?

---

Du hast ja oben meine Lösung zur Kontrolle. Du brauchst nur Deine Lösung reinposten, wenn du auf etwas anderes kommst als ich. Dann kann ich gerne schauen wo der Fehler liegt.

---

Ich habe nun Aufg. 1 gerechnet und bin auf die selbe Lösung gekommen. Vielen Dank, ich habe dazu keine weiteren Nachfragen. Aufg. 2 bereitet mir aber noch Probleme und ich weiß nicht womit ich anfangen soll. Wie soll ich zeigen, dass die Segmente zu den Streifen gleicher Breite gehören? Wie soll ich zeigen, dass für einen Streifen von x1 bis x1 + 4 der Flächeninhalt immer gleich groß ist? Und welchen Flächeninhalt hat das Segment für einen Streifen der Breite a? Flächeninhalte in Zusammenhang mit 2 Funktionen werde ích nun problemlos selber ausrechnen können.

Vielen Dank für die jetzige und kommende Hilfe.

---

Wie soll ich zeigen, dass die Segmente zu den Streifen gleicher Breite gehören?

Berechne die 2 Stellen  an denen die Sekanten die Funktion schneiden und zeige das der Betrag der Differenz immer gleich ist.

Wie soll ich zeigen, dass für einen Streifen von x1 bis x1 + 4 der Flächeninhalt immer gleich groß ist?

Die Sekante geht durch die Punkte

(a | a^2) und (a + 4 | a^2 + 8a + 16)

m = (a^2 + 8a + 16 - a^2) / (a + 4 - a) = 2a + 4

Damit lautet die Gleichung der Sekante g(x)

g(x) = (2·a + 4)·(x - a) + a^2 = 2·a·x + 4·x - a^2 - 4·a

Aufstellen der Differenzfunktion

d(x) = g(x) - f(x) = - x^2 + (2·a + 4)·x - a^2 - 4·a

D(x) = - 1/3·x^3 + (a + 2)·x^2 - (a^2 + 4·a)·x

Berechnung des Parabelsegments

D(a + 4) - D(a) = (- 1/3·(a + 4)^3 + (a + 2)·(a + 4)^2 - (a^2 + 4·a)·(a + 4)) - (- 1/3·a^3 + (a + 2)·a^2 - (a^2 + 4·a)·a) = 32/3

---

Und womit genau zeigt man, dass Streifen von x1 bis x1 + 4 der Flächeninhalt immer gleich groß ist?

Ich habe einfach Probleme das geschrieben zu verstehen da ich keine Vorwissen besitze. Mein Mathebuch hat da auch keine Aushilfe gegeben.

Und warum macht man aus der Differenzfunktion eine Stammfunktion? Reicht es nicht die Differenzfunktion einfach so für die Berechnung des Flächeninhalts zu nehmen?

---

Und womit genau zeigt man, dass Streifen von x1 bis x1 + 4 der Flächeninhalt immer gleich groß ist?

Berechnung des Parabelsegmets

D(a + 4) - D(a) = 32/3

Das Parabelsegment hat also immer eine Größe von 32/3 unabhängig von a.

Und warum macht man aus der Differenzfunktion eine Stammfunktion? Reicht es nicht die Differenzfunktion einfach so für die Berechnung des Flächeninhalts zu nehmen?

Leider nicht. Flächen über krummlinig begrenzte Flächen berechnet man mit der Integralrechnung. Ob man jetzt die Differenzfunktion integriert oder sowohl die Funktionen f und g integrierst bleibt dir überlassen.

---

Und wie ist das jetzt mit der Frage "Welchen Flächeninhalt hat das Parabelsegment für einen beliebigen Streifen der Breite a (a Element von allen positiven reellen Zahlen)"? Ist da jetzt 32/3 auch eine Antwort darauf? Denn die Breite ist doch eine positive reelle Zahl für 32/3.

---

Welchen Flächeninhalt hat das Parabelsegment für einen beliebigen Streifen der Breite a?

Genau

32/3 = 10 2/3 = 6.67 FE 

ist der Flächeninhalt dieses Parabelsegments.

---

Kann ich nun diese Berechnung für meine Antworten problemlos übernehmen? Oder gibt es irgendwelche Ergänzungen die wichtig wäre um das Geschriebene zu verstehen?

Vielen Dank für diese großartige Hilfe. Hat mir echt einiges gerettet.

---

Verstehst du die Rechnung so? Oder eher nicht? Das kannst ja nur du beantworten.

Grundsätzlich fehlen in meinen Antworten meist Rechenschritte. Die sind von dir selbst zu erbringen.

Du findest bei mir keine abschreibfertigen Rechnungen sondern einen Ansatz und eine Lösung. Eventuell Zwischenschritte solltest du dazu schreiben.

---

Auf die Rechenschritte sollte ich kommen. Ich habe ab und zu mal selber Dinge mitgerechnet ob ich auch weiß was du machst. Aber sollte eigentlich alles klappen.

---

Ich habe grade alles notiert und habe bemerkt das mein Lehrer mit Aufgabe 2.4 wahrscheinlich einen allgemeinen  Flächeninhalt haben möchte in der a als Variable auftritt. Wie kann ich auf diese allgemeine Form kommen?

---

Ich verstehe nicht wie du auf die Tangentengleichung 2·a·x + 4·x - a² - 4·a kommst. Warum genau steht hier bei

g(x) = (2·a + 4)·(x - a) + a2

ein x-a? Woher kommt dieses a? Ich rechne halt einfach mit y = m*x+b und dabei ist m = 2*a+4 und ich komme somit auf ein b= a²-6*a. Es geht mir momentan ausschließlich um diese -a.

y = m*x+b mit m = 2*a+4 und P1 (a / a2 )

a² = 2*a+4*a+b

a² = 6*a+b

a²-6*a = b

Tangentengleichung:

2*a+4*x+a²-6*a

Sorry das jetzt so viele Fragen aufkommen oder noch aufkommen werden. Ich sitz und schreib mir das halt grade auf und bemerke was ich noch nicht verstanden habe.

---

Problem gelöst. Habe einfach wegen einer vergessen Klammer grade 1 Stunde verplempert. Melde mich bei der nächsten vergessen Klammer wieder.