Bestimme Abbildungsmatrixder Koordinatenwechsel zwischen Basen und dem entsprechenden Standardbasen

Question

Aufgabe:

Bestimme Abbildungsmatrixder Koordinatenwechsel zwischen Basen und dem entsprechenden Standardbasen der passenden Größe. (Wir schreiben für E2 für die Standardbasis des R^2 sowie E3 für R^3.)

M= (2 3          Ew davon: Lambda= 1 Lambda2= 14

      4 13)

Eigenvektoren Lauten R=1,1,0 + R=1,0,1 und R= 0,1,1

Problem/Ansatz:

Hallo, Ich hoffe ich stelle keine ganz so große frage :/ Aber ich finde nirgendwo eine antwort darüber wie eine Standardbasis, Abbildungsmatrix der Koordinatenwechsel zwischen Basen und dem entsprechenden Standardbasen ausschaut :( .

In meinen lösungen steht nur von unserem Dozenten dass x=a+(-3,1)+b*(1,4) ich weiss aber nicht genau was das jetzt ist ist das eine Korrdinatenwechsel der Abbildungsmatrix?

Mfg

Answer 1

x=a+(-3,1)+b*(1,4) heißt wohl

x=a*(-3,1)+b*(1,4).

Das ist die Darstellung des Bildes mittels einer

Basis aus Eigenvektoren, das sind nämlich (-3,1) und (1,4).

Wenn du also einen Vektor x hast und kannst ihn in der

Form  x=a*(-3,1)+b*(1,4) darstellen, dann ist sein Bild

f(x) = ( -3a  + 14b , a + 56b )

      = [   1       0   ]   *      a
         [    0      14 ]           b

Bezüglich dieser Basis hat also die Matrix Diagonalgestalt

und die Diagonalelemente sind die Eigenwerte.