Question

Überprüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und berechnen Sie diese im Existenzfall.

a)   lim x→1 x≠1  xⁿ  - 1 / x - 1

b) lim x→1 x≠1  | x²  - 1 | / x - 1

c) lim x→ ∞ √ (x +√ x ) − √ x

                        

Was soll ich hier tun?

Comments

Klammern setzen ist ein gutes Vorgehen.

Answer 1

Hallo

Aufgabe c)

multipliziere Zähler und Nenner mit:

(√ (x +√ x ) + √ x)

Lösung:  1/2

Answer 2

a)

Es gibt immer mehrere Wege zum Ziel zu gelangen. Einer wäre du weißt was der quotient vereinfacht ist. Dazu kannst du für n mal 4 Einsetzen und eine Polynomdivision machen.

lim (x → 1) (x^n - 1) / (x - 1)

= lim (x → 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + ... + x^1 + 1) = n

b)

Diese Aufgabe unterscheidet sich nicht so sehr von der anderen. Hier muss nur der rechts und linksseitige Grenzwert anders behandelt werden. Da hier der Zähler immer positiv ist. Der Nenner hat aber für beide Grenzwerte ein umgekehrtes Vorzeichen.

c)

lim (x → ∞) √(x + √x) - √x

lim (x → ∞) (√(x + √x) - √x)·(√(x + √x) + √x) / (√(x + √x) + √x)

lim (x → ∞) (x + √x - x) / (√(x + √x) + √x)

lim (x → ∞) √x / (√(x + √x) + √x)

z = √x

lim (z --> ∞) z / (√(z^2 + z) + z)

lim (z → ∞) z / (√(z^2·(1 + 1/z)) + z)

lim (z → ∞) z / (z·√(1 + 1/z) + z)

lim (z → ∞) 1 / (√(1 + 1/z) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2