Füllhöhe eines Beckens bestimmen bei beliebiger Höhe

Question

ich habe momentan so meine Probleme mit der folgenden Aufgabe. Genauer gesagt soll die Füllhöhe eines prismaförmigen Beckens (mit Trapez als Grundfläche) für eine beliebige Höhe berechnet werden (später soll das Volumen gebildet werden, aber hier erstmal irrelevant).

An sich reicht es ja sich nur das Trapez anzuschauen, da die Länge des Körpers ja stets konstant ist (18m). Ich scheiter allerdings immer wieder daran, die Breite des Trapezes für eine beliebige Höhe h zu berechnen.

Hat jemand von euch eine Idee und könnte mir helfen?

Aus dem Internet kenne ich nur die Formel für ein Zylinderförmiges Becken

( L·(r²arccos(\( \frac{r-h}{r} \) )-(r-h)· \( \sqrt{2rh-h·h} \)), kann diese jedoch nicht richtig für meine Zwecke nutzen.

LG Spoleh

Comments

Meinst Du wirklich Füllhöhe eines

prismaförmigen Beckens (mit Trapez als Grundfläche)

Weil das Becken in Deiner Skizze hat ein Rechteck als Grundfläche.

---

soll die Füllhöhe eines prismaförmigen Beckens ... für eine beliebige Höhe berechnet werden

Was genau ist die Aufgabe? Die Höhe ist die Höhe ist die Höhe.

---

Das braucht man bei solchen Kommentaren auch nicht.

---

Tut mir leid, die Aufgabe ist:

"Füllhöhe im Becken -
In einem Becken, das die Form eines Prismas (mit einem symmetrischen Trapez als Grund-fläche) hat, wird eine Flüssigkeit gesammelt.
Gesucht ist ein Term, mit dem man aus der Füllhöhe des Beckens die Menge der darin vorhandenen Flüssigkeit bestimmen kann.
Maße (in m) und Bezeichnungen sind der Abbildung zu entnehmen."

---

Du willst also das Volumen ("Menge der darin vorhandenen Flüssigkeit") ausrechnen. Das war unklar, denn Du hattest geschrieben "später soll das Volumen gebildet werden, aber hier erstmal irrelevant".

Answer 1

Hallo Spoleh,

kippe das Trapez auf die Seite so das die Höhe des Trapez in X-Richtung eines Koordinatensystems verläuft (das gelbe Trapez links)

nun schere das Trapez nach oben, so dass der Winkel unten links ein rechter wird und zwei Seiten in Richtung der Koordinatenachsen verlaufen (das grüne Trapez). Durch die Scherung änderst Du die Breite \(b\) als Funktion der Höhe \(h\) nicht! Die blaue Gerade ist nun der Graph der Funktion \(b(h)\).

Sie durchschneidet die Y-Achse bei \(3\) und hat die Steigung \((5-3)/2,5\) - also ist $$b(h) = \frac{5-3}{2,5} h + 3 = \frac 45 h + 3$$

Comments

Die komplizierte Darstellung verschleiert vermutlich den einfachen Kern, dass aufgrund der geraden (nicht gekrümmten) Seitenwände des Trogs ein linearer Zusammenhang zwischen der Breite b und der Höhe h gegeben ist. Die Parameter m und n der Geradengleichung  b(h) = m·h + n  ergeben sich aus  b(0) = 3  und b(2,5) = 5  zu  m = 0,8  und  n = 3 .

---

... dass aufgrund der geraden (nicht gekrümmten) Seitenwände des Trogs ein linearer Zusammenhang zwischen der Breite b und der Höhe h gegeben ist.

das weißt Du und das weiß ich. Aber ich habe es bewußt vermieden den Schluß vom Trapez zum linearen Verlauf von \(b(h)\) zu machen! Und die Beurteilung ob die Darstellung kompliziert oder einfach ist, solltest Du besser dem Fragesteller überlassen.

Answer 2

Wenn du das (gleichschenklige ? ) Trapez in ein Rechteck und zwei

rechtwinklige Dreiecke zerlegst, sind das Dreiecke mit den Katheten 2,5m und 1m.

Wenn es bis zur Höhe x gefüllt ist entsteht in dem großen Dreieck ein kleineres mit

den Katheten x und y (Dabei ist y der Breitenzuwachs auf einer Seite) also

die Trapezbreite dann 3m + 2y .

Da die beiden Dreiecke ähnlich sind gilt y/x = 1/2,5  also y = x/2,5 = 0,4x

Somit Breite bei Füllhöhe x ist b= 3m+0,8x.